从未有过比现在更适合投身数学的时代

好，我们来谈谈这件事。感觉整个数学界都沸腾了，大家都在讨论 AI 与数学。我已经思考这个问题很久了。上周我发了一条帖子，征集大家对此的疑问。我看到的许多留言来自学生，可能是博士生，也可能是原本打算进入数学或相近理论领域的本科生。

他们基本上都在问：我该怎么办？未来看起来这么不确定，我接下来究竟该做什么？很多人担心数学已经死了，或者数学已经被解决了。即使你不相信这两种说法，你也可能担心，数学以后变成的那个样子令人不快，或者不再是你当初想做的事情。

我还和不少教授聊过。他们也几乎是摊着手说：我该怎么告诉我的学生？在这样的时刻，我该怎样给他们建议？这期视频，我想集中讨论一条很有代表性的留言。它让我想起了很多其他人的担忧："我是一名数学博士生，你就告诉我，明天该做什么吧。"

所以，我想提出一个看法，也想看看你是否赞同：从来没有比现在更适合投身数学的时候，也从来没有比现在更适合资助数学的时候。这个时期可能带来的最激进变化，是重新思考我们怎样分配学术贡献与荣誉。但数学这项事业本身、数学究竟是什么，却可能出人意料地不受太大影响。

甚至在一个假想的未来里，机器能做当今数学家能做的一切，而且做得更好，这个判断也可能成立。在视频的第一部分，我想先介绍一个自己的思考框架：列出数学家究竟在做哪些事，再列出数学通过哪些方式为世界创造价值，最后看看钱从哪里来，以及价值与资金来源之间是什么关系。

我认为，无论有没有 AI，这都是一个可以用于任何职业的有益练习。AI 加入讨论以后，这个练习仍然适用于任何职业：你可以问，假设机器在其中每项任务上都胜过人类，或者甚至在全部任务上都更强，会发生什么？

我当然不能声称自己能准确预测结果。我希望给这期视频里的判断留出非常宽的误差范围。总的来说，我只是想尽自己最大的诚意，把这个问题想清楚，并邀请你和我一起思考。

另外，值得提前说明：我并没有什么必须希望更多人进入学术数学界的切身利益。事实上，恰恰相反，我一直觉得，也许有太多学生出于不恰当的理由去读博士。如果你一直喜欢上学，而且学得很好，那么继续某种形式的学校生活就很舒服，而博士项目看起来像是这种生活的延续。

但你真正应该问的是：你希望怎样为世界上的其他人创造价值？你又该怎样使用和发展自己的技能，更好地做到这一点？学术研究或许是答案，也可能不是。提出这个问题很重要。

比如，现在有不少人离开学术界，是因为觉得自己最应该做的事情是 AI 安全。如果你就是这样的情况，那很好，去做吧，快去，快去，快去。但我此刻主要想对话的，是那些正在因为恐惧而考虑离开的人：害怕这个职业会消失，或者它不再是自己会喜欢的职业。

因为我真心相信，它不但会继续存在，而且仍然会非常有用，甚至比以往任何时候都更有用，同时也会充满乐趣。

好，先来看数学研究包含什么。最显而易见的是证明定理。这是很多人投入大量时间的地方。我们有那句老话：数学家就是一台把咖啡变成定理的机器。但大家早就知道，而如今的讨论也反复强调，证明定理绝不是数学的全部，离全部还差得很远。

关于这一点，有句很好的话：好的数学家证明定理，伟大的数学家提出猜想，而最伟大的数学家写下定义。我们可以把它们加入清单：除了证明定理，还要判断什么问题值得提出。这其中包含大量的品味判断——你需要某种感觉，知道一个想法是不是足够有意思，能不能孕育出好的数学。

至于"写下定义"，我想把它放进第三个类别：建立理论。你可能已经证明了一大批定理，也可能对什么问题值得问有所感知。但我们真正想从中获得的，是一种广泛而深入的理解：这里究竟发生了什么？

例如，笛卡尔引入笛卡尔坐标系时，重要的并不是回答了某一个特定问题，而是提供了一整套思考框架。伽罗瓦播下群论的种子时，它的意义也远远不只在于五次方程不可解；那是一种重新理解问题的方式，此后几个世纪里，它孕育出了极为繁盛、也极为有用的数学分支。

我觉得格罗滕迪克也是很好的例子。他喜欢用各种比喻，其中一个是：你想从一座山的山顶抵达另一座山的山顶，可以一路解决各种问题，先下山，再爬上另一座山；也可以让两座山之间的海水不断上涨，最后从一个山顶直接乘船驶向另一个山顶。

在这个比喻中，上涨的海水就是你建立的整套理论。你不一定是在证明某个特定定理，而是在形成一种更深、更全面的理解，理解真正发生了什么。另外还有应用这一部分：弄清楚这些抽象思想能以什么方式进入科学与工程。

所有这些类别都隐含着另一项工作：清楚地向别人解释你做了什么。不是把一个证明一股脑吐出来就够了，而是要给出动机合理、能让人理解的阐述。建立理论也不是只列一堆定义；伟大的数学家会有效地说明，为什么这些结构值得研究，并尽可能把自己的某些品味传递给别人。

再来看数学的价值。最显而易见的当然是应用，是它对科学与工程的意义。至少在纯数学领域，大家申请经费时都会写：有些应用可能处在很遥远的下游，几十年甚至几百年之后才会出现。我们可以列几个经典例子。

16 世纪，一群意大利人在研究如何解三次方程。有一种奇特的技巧，需要认真对待负数的平方根。让围绕它的理论建设延续几个世纪，我们就有了虚数，而虚数成为量子力学、电气工程、波动研究以及几乎各种领域的重要组成部分。

再比如，对欧几里得第五公设的追问，促使人们发展出非欧几何；经过一系列中间环节，我们抵达了广义相对论。又比如，对费马大定理的追求，发展出围绕代数几何、椭圆曲线等对象的大量美妙理论，它们后来又出人意料地用于密码学。这样的例子很多，大家都很喜欢列举。

不过，数学还有另一种价值，它不主要体现在社会层面的应用，而体现在个人层面：亲自做数学，接受一部分数学家的训练，会让你获得一整套解决问题的能力。而这些能力看上去能非常有效地迁移到其他地方。

所以，我们会看到，经济中的许多其他领域都有受过大量数学训练的人：计算机科学、机器学习研究、现在的 AI 安全、金融、密码学，等等。有的人只是上过数学系的几门课，有的人甚至读了数学博士，但最后没有成为数学家，而是把这些技能用在了别处。

这里似乎确实存在可以推广、迁移的东西。寻找恰当的抽象方式，以及这样一种解决问题的方法，会使人们在其他领域也更有价值。至于数学价值的第三个类别——

——它常常受到低估，但我认为以后会越来越值得重视，那就是审美上的价值。单纯做数学本身，就有一种快乐。我个人会感受到一种非常具体的情绪：面对一道好题，突然看出它会怎样被解决，脑海里就像有什么东西"咔哒"一声对上了。

或者，我把一套以前没有接触过的新理论放在脑海里，看到各个部分怎样契合，就获得了一种完全不同的思考方式。我觉得数学的很多部分都能带来这种感觉：它会重新塑造你的思维。任何上过线性代数课的人，此后一生的说话方式都会有点不同，比如用"正交"这个词来谈论观点。

研究范畴论的人，有时会觉得脑子被彻底翻了个面，获得了一种全新的思考方式。这种感觉本身就让人满足，就是很好。如果你问数学家，是什么促使他们进入这个领域，并不是所有人都会这样回答，但我想对很多人来说，这才是真正的原因：做数学有一种快乐，一种艺术性的愉悦。

我也觉得，这有助于解释为什么现在人们对 AI 与数学的某些反应，会那么强烈地呼应艺术家对 AI 与艺术的反应。因为从某种意义上说，人们感觉它正在侵犯一种艺术形式。但如果我们把数学当作职业而不是爱好来考虑，没有资金来源，这些都无从谈起。

那么，数学的钱从哪里来？很大一部分来自教学。很多数学家是数学教授，在大学数学系里教书。数学系所教的人往往远远不止数学专业学生，因此在学分课时与学费收入中占有不成比例的重要份额。

当然也有公共资助，比如美国国家科学基金会 NSF 的拨款。还有来自不同机构的私人资助，例如西蒙斯基金会，有时也会有产业界的资金。顺便说一下，在这些资金来源里，教学是最大的一项。与其他科学相比，这算是数学的一个特点：数学研究相对便宜，而修读数学系课程的学生范围又相当广。

好，我们马上就要做一个思想练习：假设 AI 在数学研究各个环节上都比人类数学家更强，会发生什么？但在那之前，先弄清楚价值的这几层与资金来源的这几层之间是什么关系，可能会更有帮助。

例如，后两种价值——解决问题的本领，以及审美上的快乐——是个人层面的好处。只有亲自做数学的人才能体验到它们。公共资金的存在，并不是为了让圈内人享有一种既有声望、又赏心悦目的高雅爱好。

我觉得更好的理解是：后两种价值，主要经由教学进入资金链条。世界各地大学数学系走廊里的学生，大多是为了培养技术性的问题解决能力，希望这些能力能在别处派上用场。有些人也为了审美上的乐趣而来，我自己就是如此。

当然，数学还有其他好处，比如它能锻炼一套普遍有用的技能，这确实令人安心，也让自己的选择得到肯定。但坦诚地说，我从数学系获得的相当大一部分价值，就是审美上的。对整个社会的好处，当然来自下游应用。不过，我认为还有更多共同受益之处值得承认。

例如，数学科普——这个频道、Numberphile，或数学家的公开演讲所做的事情——确实是在尝试把这种审美乐趣分享给社会上更多的人。至于公共与私人资金的合理性，虽然大家写经费申请时都会围绕下游应用展开，我认为还有一种更重要的正外部性。

那就是，你拥有这样一套机构，持续培养出具有某种问题解决能力的人。它从世界各地吸引人才来到著名大学，在那里接受训练。其中多数人最后不会成为数学家，而会流向经济中其他非常有用的部门，运用这些可迁移的技能。

仅仅这一点，我就认为已经能使投入这些机构的资金获得相当可观的回报——至少，前提是它们确实培养了良好的问题解决能力，而这些能力——

——确实能够迁移到其他领域。好，接下来进入核心：如果 AI 在数学研究的不同环节都变得很强，会发生什么？

现在先讨论第一种情况：假设机器比数学家更擅长证明定理。在进入这个假设之前，值得退后一步，总结一下最近究竟发生了什么。正如我说的，我已经思考了很久。实际上，3Blue1Brown 背后一直有个不太引人注意的项目：大约从 2025 年年中开始，我就在录制与数学家的访谈，想听听他们如何看待 AI 进入数学这件事。

我得出的一个总体结论是：在任何一个时间截面上，人们都高估了它所处的位置，却没有高估它前进的速度。举个例子，大概是在 2023 年——我记得是那时候——有位朋友给我发短信：DeepMind 是不是刚刚碾压了奥数级别的几何题？

他指的是 DeepMind 发布的某个模型，能够回答 IMO 级别的几何问题。当时的回答大概是：是吧，可以这么说。但它显然不太符合我们所说的"解决 IMO 级别问题"的本意。那种做法感觉很定制化，也很依赖穷举；而这些题目本来应该需要某种创造力与想象力。

但如果把时间往后推两年，通用的自然语言模型，甚至不是那些专门定制的模型，已经能解决 IMO 级别的题目了。按照任何合理的"解决"定义，都可以说它们确实解决了。

又比如今年早些时候，开始出现一些所谓"埃尔德什问题"的证明。伟大的数学家保罗·埃尔德什提出过许多不同的问题，他很有判断好猜想的品味。这些问题有一份编号清单，自然就让模型公司很乐意把它们当成某种基准。不管这算不算好的基准，机器生成的证明确实越来越多。

最初，很多人会说：是，是，是，但仔细看，这里面很多只是唾手可得的成果。有些问题以前没人认真尝试，有些其实早已解决，只是记录得不够完善。模型不过是在重新包装已有成果，却没有给予相应的署名与引用——而这当然又是另一个大问题。

但到现在，已经没人会说，我们正在看到被解决的那些问题都只是低垂的果实了。很多都是相当严肃的问题，数学家曾经非常努力地寻找证明，而现在大语言模型给出了证明。这里我还想明确说明：即使把那些登上新闻头条的结果全部搁到一边，这件事依然成立，也早就值得讨论。

比如，把最近 OpenAI 那些关于纳维–斯托克斯的东西，以及他们一下公布的数百个问题都暂且放下。只要你去和真正从事研究的数学家聊，看看他们怎样与模型互动，至少有些人会告诉你：他们把一个严肃的研究问题交给推理模型，得到的回答让他们觉得确实有启发。

当然，这因领域而异，也因人而异。这条能力前沿在非常细微的层面上都凹凸不平，远远不是均匀的。另外，一些证明的呈现方式也引发了巨大的争议。我不想淡化这些问题的严重性，但如果从高处看总体图景：四年前，这些东西甚至还不会加数字。

它们掌握竞赛数学的速度，远比任何人预料的快；从竞赛数学跃迁到能做出任何与研究有关的事情，速度又远比很多人预料的快。所以，即便说"定理证明已经被解决了"是夸张的，即便我们看到的大多数证明，只比人类数学家的贡献向前迈了一小步，而且往往依赖非常近期的人类成果——

——甚至即便"定理证明被解决"究竟是什么意思，本身都没有一个清楚的定义，考虑到过去四年的进展速度，为了讨论，也为了那个想向前看、思考自己未来哪些东西仍然稳定的博士一年级学生，我们不妨直接假设：机器在生成证明这个环节上，已经全面胜过人类。那会怎样？

简而言之，我认为，这几乎不会影响数学创造价值的那几层，因此也几乎不会影响资金来源。但它会极大地影响数学这项事业的文化，以及学术贡献与荣誉的分配方式。

只看价值这一边，正如前面所说，应用几乎总是来自理论建设。重要的不是"一般五次方程不可解"那个证明，而是群论的创立；它随后产生的影响，包括让人们提出夸克可能存在这样的想法。重要的不是费马大定理最后那个"是"或"否"的答案，而是由它发展出来的全部数学——

——以及这些数学的应用。有时，你也可以说，一个定理的结论本身就有某种用处。例如，你在研究核聚变，想构造一个磁场处处不为零的系统，毛球定理会告诉你：具有球面拓扑的东西做不到这一点。虽然我总觉得，拿这样的例子来说还是有点勉强；总的来说，应用主要来自理论建设。

顺着这个关系看资金来源，公共资助依然非常合理。甚至可以说，数学家现在拥有更强的工具，能够更有效地建立理论；私人资助也是如此。价值清单中的下一项，也就是锻炼解决问题的能力，基本不受"机器是不是更强"的影响。

很可能已经有很多人，在生成证明这件事上比你更强了。但为了锻炼解决问题的能力，你亲自完成证明，仍然非常有帮助。这里的类比基本就是去健身房：机器当然能举起比你更重的东西，但这并不会消除你亲自举重所获得的价值。

顺便说一句，随着 AI 在清单上的其他环节也越来越强，这一点几乎一直成立：锻炼解决问题的能力这部分价值，始终要求你这个人亲自参与。当然，你可以问，等我们走进后面要讨论的科幻式未来，AI 接管越来越多能力之后，人类还需要解决问题的能力吗？

这个问题我们先放一放。只要人的这种能力仍然有价值，它就会通过教学进入资金渠道。拥有能够生成证明的人类专家，依然非常有价值，因为他们能够训练学生也具备这种能力，从而产生那些向其他领域溢出的好处。

审美上的快乐就更微妙了，因为两种反应我都见过。我尤其经常在网上看到一种感受：机器生成定理证明，彻底吸走了其中的快乐。一个数学家可能一直在朝某个结果努力，结果 OpenAI 一口气公布的数百项成果里，恰好就有这一项。他会觉得，自己的动力一下全没了。

我理解这种感受，讨论它很重要。但另一方面，尤其在面对面交流中，我也看到一些数学家极其兴奋。他们一直很想知道某些问题的答案，现在通过与模型互动，开始看见这些答案。尤其当他们在乎的不只是证明，还有理论建设时，他们会感觉自己终于解开了束缚。

我想给你看一小段例子，是我和高等研究院的 Konstantin Kogler 的谈话。他谈到自己领域中一个非常重要的问题，甚至可能是最重要的问题之一。过去一年里，他不断尝试把它交给自己能够用到的最先进模型。以下是他的感受。

嗯。

是的，嗯。

顺便说，这种两面性——网上更容易看到负面情绪，而面对面时更容易见到快乐——当然不只存在于 AI 与数学的讨论中。这就是当今世界公共讨论的特点。我不想淡化那些负面情绪的真实性或正当性，事实上，稍后我还想深入谈谈。

但我认为，这对那个博士生的核心问题，也就是"明天该做什么"，已经给出了一个启示。再说一遍，我保证会在视频最后给出具体答案。但答案的第一部分是：与人交往。把电脑合上，和你的博士生同伴出去散个长步。至于散步时聊什么，相信我，我们会谈到的。

我知道，我们在这一项上花了很多时间。但现在大多数讨论确实集中在这里，而我还有几件事想说。例如，如果机器更擅长生成证明，实际做数学会是什么样？从那个受到鼓舞、为此兴奋的乐观者角度看，基本上就是更深入地投入理论建设。

你不再受限于沿途解决某些问题的速度。你可以提出所有自己想问的问题，可以更快地看到答案，再尝试理解它们：这些结果怎样放进更大的叙事？我所看到的全部证明中，哪些部分体现了简单性？我怎样把它们编织成一整片新的理论？

就像伽罗瓦引入群论，或者格罗滕迪克发展代数几何那样，作为一个人，你能够完整培育出的东西是什么？也许你的博士论文不再只是零星的几个证明，而是一整套理论的建设。

一个类比是读教科书。有了书后的参考答案，你往往能更快理解书中的材料。这不是说你应该总去看答案，你依然应该亲自做题、认真参与。但当你卡住时，一份更连贯的解答能帮助你走出来，让你比在一片完全未知的土地上独自探索时走得更快。

当然，怎样做需要谨慎考虑。例如，许多机器生成的证明所使用的思想，最初来自人类撰写的论文，而目前这些思想的来源并不总会自动获得引用。这显然是个问题，意味着你必须多做一步，确保该得到学术信用的人确实得到它。

与此同时，我承认，前面说到的快乐丧失是真实存在的。很多数学家看到我刚才描述的工作方式，可能会说：天啊，那听起来太糟了。我不想坐在那里解析一大堆机器生成的垃圾，只是在理解别人已经回答过的问题。我想自己找到解法。

我追求数学的全部快乐，就在于亲自做、亲自形成理解。我确实觉得，正面回应这种感受，是整个数学共同体现在最需要认真面对的问题之一。不过，我怀疑其中至少有一部分，可以追溯到两个不同的原因。

第一，目前模型输出的解释质量，往往很不尽如人意。没人想费力解析一大堆粗糙的东西。我猜这会改善。能够生成证明、但证明又几乎无法理解，也许只是历史上一个短暂的阶段。模型公司有很强的动力，让模型把事情解释清楚。

看看代码的发展轨迹：早期生成的代码，即使能运行，往往也很凌乱；后来总体是在变得更整洁。有些人可能不同意我这一点。模型的注释确实写得太多了。但总体而言，我认为趋势是这样。

更深层的问题，我怀疑是数学共同体在珍视什么、把学术贡献归给谁这件事上的文化惯性。让人难受的一种情况是：你一直在研究某个问题，突然模型找到了答案，尤其不是你自己与模型互动得出的答案，而是模型公司公布的结果。随后大家就觉得问题已经解决，你只是在后面收拾残局。

在数学历史的大部分时间里，我们一直把证明当作理解的替代指标。证明是我们追逐的北极星：能证明一件事，就意味着理解了它。面对那些伟大的开放问题，我们把证明诞生的时刻视为问题被解决的时刻。

当然，证明从来不是全部，大家也一直知道这一点。你把一篇写得很差的论文投给期刊，它会被直接退回来。即使你在其中证明了一个非常重要的定理，如果写得不好，审稿人会很沮丧，因为他们知道自己应该在乎它，但仍然会退稿。把事情讲清楚，责任仍然在你。

我认为，到现在，我们应该把证明看作某种类似数值计算的东西：它是一种有助于建立理论的原始数据，而绝不是目的本身。顺便说，这不是我独创的想法；已经有其他人提出，应当把机器生成的证明——

——更多地当作数据看待。但从整体上说，把理论建设而非证明本身视为目标，把证明视为可以投入其中的一种原始数据，会带来某种解放。

例如，我并不在乎纳维–斯托克斯问题中那个带强迫项的爆破解。我在乎的是：有没有人真正理解证明中用到的思想，以及这些思想能够孕育出怎样的数学，能不能发展成一套美丽而连贯的理论。如果有人投入工作完成了这件事，就把那个千禧年大奖颁给他吧。这才是我们最初在乎这个问题的原因。

证明只是数据，就像给我更多位数的 π 一样。这个看法也会影响你怎样做研究。有时你需要的是再多一个证明，和模型互动可能是最好的办法。但很多时候，也许并不是这样。更好的做法是合上电脑，把自己对问题的理解写写画画地梳理出来。

然后问：现在阻碍我形成更深理论的究竟是什么？是还缺一个证明，还是我对现有证明的理解还有问题？重新看看数学研究的各个部分：如果机器能够生成证明，却讲不清楚，那确实仍然需要人类数学家把它们变得可理解。

坦白说，这可能不是最有趣的环节，不过也许取决于你的看法。不管怎样，我假设这只是一个相对短暂的阶段，接下来不妨认为，机器也会更善于表达自己的思想。顺便说，这里讲的还只是书面表达。

另一种同样重要的表达，是更具社交性的交流，通常通过口头讲解发生。我认为，在未来的整条发展轨迹上，口头表达能力的重要性只会越来越高。机器不能替你理解；数学的重要部分，是让其他人理解，也让他们在乎，而我们是社会性动物。

所以，即使机器解释得更好，我们之所以愿意在乎一件事，很大一部分仍然是因为看见另一个真正在乎它的人。

清单上还有一项：提出问题，判断哪些定理值得证明。眼下，这仍然是数学家可以投入时间、充满活力而且能放大自身作用的领域。不过，为了讨论，我们再设想一步：机器在这方面也变得更强了。

你与模型的互动，不再只是请它证明一个特定定理；它还会反过来说：还有这些问题值得问，可能会产生丰硕的数学成果。而且，不管我们用什么方法来定义"更好"，它提出这些问题的能力都超过了数学家。显然，这一项与理论建设之间的界限很模糊，但我们仍可以暂时单独讨论。

假设人类在建立理论这一环节上仍然更强，能够真正理解这一大批定理，以及它们各自是怎样被证明的。这一环节与下游应用的关系最密切。因此，从资助数学的角度看，继续投入不但合理，而且比以前更能放大资金的作用，因为每个数学家都能比从前快得多地推动理论发展。

至于锻炼解决问题的能力，依然像健身房里的举重：机器更强并不重要。只要人类的问题解决能力在世界上任何其他地方仍有意义，你就依然希望有人接受这样的训练，亲自练习如何做到这些事。

在审美与快乐这一边，我想我们还会看到分歧。有些人不会觉得，看模型自己提问、再自己回答有什么趣味。我知道，我自己大概一辈子都会努力在脑海里构思有趣的问题，再寻找自己的回答方式，基本不会因为模型能做什么而改变。

但也会有人为此振奋，觉得建立理论、理解理论受到的速度限制越来越少。甚至，他们可能开始更快地看到理论怎样用于实际，不再只是等几十年甚至几百年后某种下游应用自然出现，而是更早主动去寻找它们。

但是，今天的研究生可能会问：如果理论建设这一环节也被攻克了呢？如果推动抽象意义上的理论数学，最有效的方式不只是让机器生成证明，或者让它决定该证明哪些定理，而是让它消化全部证明，寻找其中简单的要素，并理解要把它们组织成连贯理论，究竟需要织出什么真正新颖的结构呢？

这就好比，你把直到 16 世纪为止的全部数学交给它，它不但会解三次方程，还会发明恰当的记号来表达这些东西，建立复数理论，以及之后的各种成果。也许你觉得这不太可能，认为目前的大语言模型依赖人类知识与训练数据，不可能实现这种层次的真正原创思考。

不过，即使只是为了探索一种假设，我们也可以问：在那样的世界里，数学这个领域会变成什么样？如果我们想要数学在现实世界里产生应用，那么按照这个假设，模型已经更擅长生成全部理论了。但你仍然需要有人充分理解这些理论，能够看出它们怎样用于相邻领域。

这里面有没有任何东西与治疗癌症有关？能不能帮助实现核聚变，或者帮助我们得到高温超导体？这些才是真正落到现实、产生作用的地方。对于个人解决问题能力的培养，情况和前面一直讨论的一样：你在健身房里。

机器更强没有关系。只要人类解决问题的能力还有任何意义，你就依然希望人们亲自经历这一整套训练。至于审美与快乐，我意识到，自己其实一直把两种不同的东西混在了一起。

一种快乐，是任何人在任何水平上做数学都可能体验到的：看见一个巧妙的解法，感觉它在自己脑海中对上了，获得一种非常独特的满足；或者理解一个新主题，发现自己的思考方式发生了某种令人欣喜的改变。比如，这就是你和我在这个频道里一直做的事。

另一种则是处于研究前沿的人，因为亲自推动前沿而体验到的快乐。对于第一类，我觉得，AI 是否在清单上的某些任务上更强，基本不会对它造成影响。它与锻炼问题解决能力那一项完全类似。

原因也相同：要体验这部分价值，你必须是亲自做数学、在自己脑海里与它交锋的那个人。当然，能够做数学的模型的存在，对某些人的感受可能确实有影响。但我也认为，这种快乐在本质上更具有共同体与社交的性质；至少，它会因为共同参与和交流而增强。

当你和同样热爱某件事的人在一起，或者看见另一个对此充满热情的人时，要对它产生热情会容易得多。一个人也能感受到快乐，这当然会发生，但社交这一部分始终是放大器。

对我来说，无论任何机器的能力怎样，我都始终想接触更多数学，在自己的脑海里弄懂它们，再与你分享；我想用一生来分享这些东西。至于研究者的快乐，我前面描述的那种分歧，会越来越鲜明。

可能永远都会有人，为机器向他们打开了一扇看见数学世界的全新窗口而振奋；也可能永远都会有人因此深受打击。因为说实话，这里确实失去了一些东西。长期以来，推进人类的理解与产生各种下游应用之间，存在着非常紧密的联系。

而在我们讨论的这些假设里，两者正在越来越脱离。对某些人而言，单纯为了推进人类理解而推进理解，可能因此失去一些力量。也许你不想读一本书后附着答案的教科书——即便你可以选择不看，答案的存在本身就削弱了那种开拓精神。

不过，我聊过的不少数学家，似乎并不特别执着于站在最前沿，或者成为第一个发现某件事的人。他们确实主要从数学的共同体性质中获得快乐。所以，毫无疑问，数学共同体里会出现越来越多不同的思潮，强调推进人类对数学的理解——

——本身就有价值，本身就是一个值得追求的目的。总结一下这与图中各项的关系：只要学习数学始终能带来快乐，而且只要人们愿意为学习付费，这种快乐就能经由教学获得支持，这一部分就不会受到影响。

但也必须承认，如果某些快乐来自成为开拓者的希望，来自第一个踏入某种新理论的愿望，那么，那样的未来确实意味着一种损失。

为了把整个思想实验做到底，再看清单上最后一项。假设机器不仅更擅长生成证明，不仅更擅长提出能孕育丰硕数学的猜想，不仅更擅长理解这些数学究竟是什么、怎样用好的定义和理论把它们组织起来，而且还比人类更擅长看出它们有哪些应用，更擅长把它们带入科学与工程。

我们把它叫作"你能做的，我都做得更好"的未来。到了这里，事情才开始出现新的变化，因为这是价值链上第一次出现这样的情况：理论上，所有通向应用的好处，都更适合完全在机器内部实现。

因此，从理论上说，只要公共与私人资助的动机是下游应用，最有效的资金用途就会变成：把钱投向一大团专门做数学的计算资源。它建立理论，把理论接入应用，在这个意义上推动进步。

要我猜的话，虽然到了那个阶段，从应用动机出发，这会是合理的资金用途，但我很难想象政策制定者一下拨动开关，让公共资金不再流向人，而是全部流向一大团算力。我倒是能想象，一些因 AI 本身积累巨额财富的人，成立私人基金会，专门向这种会做数学的计算资源投入资金。

这很有可能发生。公共资助方面，更可能出现的情况，是人们会越来越多地谈论数学带来的其他正外部性。例如，一套能够训练问题解决者、让他们流向世界其他领域的机构，依然极其有价值。仅这一点，就足以使公共投入产生正回报。

或者，会出现一些正式机构，围绕"由人类做数学，促进人类繁荣"来组织。这其实是把数学当作一种艺术，而它一直都是。也许到了那个时候，资金的性质就会被这样理解：资助数学，与资助艺术出于相同的原因，既有公共资金，也有某些私人慈善渠道。

不过，请保持视角：这些甚至都不是数学大部分资金的来源。大部分钱来自教学，而教学的价值最终来自价值链中下面的两个部分——训练人解决问题的能力，以及在这个过程中赋予他们一种非常独特的快乐。

这个"你能做的，我都做得更好"的未来，激进得让人很难认真想象。顺带一提，我们全部的讨论，都以事情朝好的方向发展、没有发生灾难为前提。因此，有些人可能会觉得，眼下 AI 安全才是自己更应该投入的领域。

但既然我们正在讨论这个问题，并假定那是未来较好的一个分支，我觉得类似现有大学的结构，很可能仍然存在。即使理论上 AI 更擅长解释，人们也仍然会想向人类学习。因为教育的速度瓶颈不是解释得够不够清楚，而是学习动机。

人们到底想不想学这些东西？什么会激励他们？有时，动机就是学习本身纯粹的快乐。但我们是社会性动物，学习动机的很大一部分来自看见别人对此深深着迷，尤其当那个人是自己尊敬或在乎的人时。

从 AI 替代工作岗位的角度看，教学总体上让我觉得是最稳固的职业之一，因为它如此依赖关系，如此依赖人与人之间的互动。无论屏幕里的解释能变得多么清晰，都无法替代这一点。

那么，讨论到这里，我们该怎么做？我认为，在可以预见的未来，研究需要越来越强调数学的理论建设。这一直就是重点，从来如此。主要的区别在于：证明过去是一个非常有价值的替代指标，而现在，它作为替代指标的价值正在下降。

到这一步，证明更像是一种原始数据，并且有望成为非常有用的原始数据。毫无疑问，我们必须改变衡量人类学术贡献的方式。但这大概是好事。证明本身可能已经被高估了几十年。

同样，如果数学这套机构的价值在于磨炼问题解决能力，那也意味着我们必须重新追问：究竟该怎样训练？因为以前的训练方法不再适用了。例如，现在单纯布置习题集、再给作业打分，已经不太说得通。

即便你担心某种科幻式未来，数学真的全部可以机械化；甚至你担心训练解决问题的能力也会变得没用——我觉得这有点牵强，不过我们也可以认真讨论——只要做数学仍然带来快乐，数学对人类就永远有价值。

我之所以特别看好最后这一点，认为即使在那些狂野的科幻式未来里，它也能成为一根支柱，一个重要原因正是这个频道。想想这里正在发生什么：有数以百万计的人愿意参与，而我们所做的，实际上只是沉浸在数学的美之中，寻找那些解法令人满足的优雅问题，或者尝试传递新的思考方式。

当然，并不是那几百万人都愿意付钱——那样就太好了。但确实有几千个人愿意，而这就足以改变一切。再看看频道之外，我最喜欢用来说明公众明显渴望数学的例子之一，是 Brady Haran 经营的那些频道。在它们当中，最受欢迎、而且远远领先其他频道的，恰恰是他讲数学的那个。

再往前看一点，现代数学科普的教父马丁·加德纳，最初在《科学美国人》的专栏被放在杂志后面。但后来，杂志不得不把它移到前面，因为太多人订阅杂志，就是为了读他的专栏。显然，一旦人们尝到数学真正是什么，整个社会对它就有巨大的渴望。

因此，我认为数学共同体应该明智地向外转身，更主动地满足这种渴望。在视频的大部分时间里，我都在解释，为什么我认为数学这套机构有价值，并将继续存在。但开头，我提出了一个更强的判断：现在是最适合投身数学的时期之一。

我猜，很多点进这期视频的观众可能以为，我的意思是 AI 会为数学打开新的机会。但其实，我指的并不是那些。我认为现在是最佳时机之一，是因为整个共同体都知道自己必须改变，而那么多人都在向后靠，寻找方向与实例，想知道这种改变究竟应该是什么。

所以，作为新进入这个领域的人，你有机会在它历史上最关键的时期之一，真正影响它将会变成什么样。我觉得这极其令人兴奋。回到那位博士生的留言："告诉我明天该做什么。"我可以告诉你，如果自己在 2026 年读数学博士，我会怎么做。

我会做 3Blue1Brown，就做现在这样的事情。十年前，如果我走进一个数学系，说：我有一个用高度视觉化方式解释数学的想法，顺便，你们能不能把它视为一篇学术上得到认可的博士论文，而不仅仅是业余爱好？几乎所有数学系都会笑着把我赶出去。

我不敢肯定，年轻时的我放到今天就一定能说服他们。但如果有哪一个时刻，人们会愿意对此保持开放心态，那就是现在。当然，我不是说你应该做和我一样的事。你应该投入让自己热爱数学的那个部分。我喜欢解释数学，喜欢把它可视化。这是我的热情所在，也是我想一路追下去的东西。

但你的热情是什么？你想一路追下去的是什么？如果你热爱理论建设，想成为下一个伽罗瓦或下一个格罗滕迪克，那很好，去做吧。你现在能用上一台生成证明的机器，接下来四年它还会越来越好。

也许你能借助它，写出一篇世界从未见过的博士论文，开辟在以前那个世界里根本无力开辟的新领地。如果你不喜欢这些模型，不想使用它们，觉得它们让你不舒服，那也很好，你也可以认真投入这种选择。数学共同体里，必然会有一些思潮——

——想要确立"由人类为人类做数学"究竟是什么，又应该是什么样。你可以树起一面旗帜，可以决定，一篇体现这种目标的博士论文，究竟应该长什么样。

另一件我会做的事，是意识到：如果机器在数学研究清单中任意一部分上变得更强，那么，衡量一个人究竟理解了多少、有没有潜力推动这个领域继续前进——无论"前进"意味着什么——最有效的方式，就会越来越向口头表达倾斜。

所以，去做报告，做很多报告，练到非常、非常擅长讲解，把它变成自己数学实践中非常日常的一部分。至于明天具体该做什么，我最明确的建议就是：出去散个长步。找一个朋友，也许是同一个项目里的同学，和他一起想想，你喜欢数学的究竟是什么？你为什么走进这个领域？

也问问对方：他热爱的是什么？他又为什么走进来？然后一起头脑风暴，想一想接下来几年的人生，究竟想为价值清单中的哪些部分、以什么方式作出贡献。

对我来说，我依然热爱数学，而且永远都会。我始终会热爱寻找把数学可视化的方法，并在这个频道与你分享。我对你最大的期待，就是希望你能找到一种方式，真正投入自己的热情。这个共同体从未像现在这样开放，他们会愿意听听你要说什么。