数学与人工智能的危机时刻
好，这算是一集关于数学和人工智能现状的紧急特别节目。可以说，我们正处在数学史上的一个危机时刻。过去几周里，机器声称解决了数学史上一些最难的问题：纳维–斯托克斯方程、准黎曼假设、唯一博弈猜想，以及数百个其他结果。
今天和我在一起的有 Steven Brunton，他是数学家、华盛顿大学的流体动力学专家，可以谈纳维–斯托克斯方程、湍流以及流体相关的许多问题。还有 Ankur Moitra，他是 MIT 的数学家和理论计算机科学家，今年访问普林斯顿高等研究院；他可以谈唯一博弈猜想、复杂性理论，以及 AI 学习背后的数学和理论计算机科学的方方面面。Alex 是 Rutgers 的数学家和数论学家，也可以谈许多话题，包括黎曼假设、Lean、自动化证明与验证，以及数学中的其他问题。
三位都非常杰出，也都非常友善，一大早就来和我聊聊，聚集成一个由人类大脑组成的小型多智能体群，试着理解此刻发生的事情。很多数学家，包括 Terence Tao 在内的杰出数学家，都被震惊得不知所措。这里面有敬畏、恐惧、忧虑，也有一点点希望的曙光。所以我先从一个关于感受的问题开始，抱歉——
数学正处于危机时刻
刚才的问题是关于感受的：你们对这个历史性时刻有什么感觉？Alex，要不你先说？
我不知道我会不会把它称为危机。危机里有很多机会。这是重新思考我们究竟想要实现什么的机会。有人对这种机会的混乱局面感到消极，有人则积极看待；有时同一个人身上会同时出现这两种反应。我认为，我们正在进入、或者已经身处某种数学知识的黄金时代。几千年来，我们就像举着蜡烛在树林里走，蜡烛只能照亮眼前这么远；现在我们有了手电筒。
对不了解情况的人来说，我们应该谈谈这一刻的分量。也许可以引用你说过的话，大意是：“天哪，如果这是人类做出来的，立刻就能拿菲尔兹奖章。”也许你没说“天哪”，但意思是“这是个了不起的结果”。很多人没想到这么短时间内会有这么大的进展，所以这确实令人震惊。你是这几天得知消息、正在消化这种感受的人。回想一下你第一次看到 OpenAI 发布报告时的感觉吧。那天你们两位似乎都在镜头前，也许是在会议或聚会上喝了几杯。Ankur，你当时是什么感受？
结果公布的那晚很特别。其实也不完全出乎意料，因为几周以来一直有传言，说这批结果里包含我研究领域最重要的两个问题：唯一博弈猜想和 RL=L。甚至还有矩阵乘法的传闻。所以我第一反应真的是：“哇，全都是真的。谢天谢地，终于公布出来了。”这样大家终于可以仔细看、消化发生了什么，再想想下一步该怎么做。
至于你刚才问的感受，对我来说每天都在变化。但最主要、最贯穿始终的感觉，是自己仿佛被拉向两个截然不同的方向。我的工作一直是提出正确的问题；从这个角度看，这些工具太惊人了，因为它们提升了我了解其他领域的能力，就像有一位世界级专家用你的语言给你讲解。你建立联系的能力因此大大增强。
但我最喜欢的工作之一是指导学生。不只是培养研究生和博士后，看着他们做出很棒的成果，也包括和他们一起踏上这些探索之旅。让我感到另一股拉力的是，我意识到我们沿用这么久的成功手册和路线图，现在都被扔出窗外了。于是，要建议学生和博士后该研究什么、才能产生影响、建立自己的声誉，就变得困难得多。我非常兴奋，但在智识上也比以前更孤独。对我来说，很多伟大的成果往往来自提出非常朴素的问题。如今焦虑和忧惧太多，人们觉得必须做出极其重大的事情，才能在 AI 成果的汪洋里脱颖而出；我们似乎失去了一些耐心，忘了种下种子，才能长成参天橡树。
菲尔兹奖得主 Terence Tao 写道：“我对许多研究人员投入多年心血、持续而耐心地、刻意缓慢推进的研究工作感到震惊，尤其是研究生——”
数学研究的路径与意义
……研究生和博士后，投入许多数学中令人振奋的问题，却被这样的发布轻率地打乱甚至摧毁。就像你看过电影剧透或填字游戏答案之后，就没法再“没听说过”它；知道已有解答后，你也很难再以同样有收获、丰富的方式探索这个问题。我为那些没走上的道路、以及这场技术竞赛中失去的机会感到惋惜。
现实地说，这对博士生和博士后来说，可能比你刚才说的更戏剧性。你讲得很平静，但如果我现在是博士生，我会非常震惊。我的整个人生——我自己也经历过一些类似的事。我有很多程序员朋友，去年十二月，当编程界基本转向让 AI 编写大多数程序时，他们就经历了这种震惊。我想那种感觉近似于意义感丧失，甚至恐惧，很黑暗。我们之后还会继续谈。Steve，你怎么看？你当时、现在是什么感受？
我的大多数感受都相当乐观。我觉得自己是个工程师，喜欢解决能让技术更贴近人类实际需求的问题，比如人工心脏和飞机。我们解决现实应用问题的能力会大幅提升，能力范围和影响力也会扩大，所以我对此非常乐观。不过，不确定性确实很大。我能理解人们担心失去意义、失去控制，或者被排除在自己热爱参与的过程之外，这有点可怕。
未来五到十年可能出现两种走向，我觉得无论哪一种都不会让我们特别意外：一种是我们真的被其他智能远远甩开；另一种是进展趋于平稳，AI 成为我们用来满足好奇心、解决人类问题的强大工具。这是两个截然不同的世界，不确定性巨大，而人类很难面对不确定性。选择数学的人可能尤其如此：我们大概是因为喜欢规则和形式体系才选数学，而不确定让人不舒服。
但谦逊很重要。这是提醒我们思考为何做这些事的好机会：人的目的是什么？不是为了出名，也不是为了拿菲尔兹奖。解决有趣的问题、帮助他人、保持好奇、想要理解世界，这些都是值得重新找回的事情。我们怎样才能成为满足的人？这是个很值得思考的时刻，我最近一直在想。年轻人要找到自己的方向确实更难，但某种意义上，我对他们比对我们更有信心。
你觉得 Terry 说得有道理吗？知道一个问题已经被解决，会让人更难保持动力、继续探索吗？当 AI 系统已经解决了这样的题目时，还能继续探索那个领域吗？
有道理，也不完全有道理。我非常认同，过程和目的地一样重要。比如公路旅行，旅途本身通常和抵达目的地一样有趣。但另一方面，如果我们知道另一个国家发明了瞬间移动或时间旅行，我敢保证我们会在接下来五年里重新发明出来——
已知答案反而能推动探索
就像你知道它确实可行，而且能稍微逆向工程一样，我们会好奇，会投入其中，最终把它弄明白。所以，知道存在一个解，也会成为更快找到它的巨大动力。
AI 会“解决”数学吗？
我换个方式问：如果此刻标志着这样一条发展轨迹——AI 基本上可以说是“解决了数学”，或者杀死了数学——你能否论证这确实是一条可能的轨迹？又能否论证它并非如此？请尽量把两种立场都说到最有力。也就是说，数学会彻底变成机器做的事，人类转而做根本不同的事情；还是说，未来仍会有某种类似我们当下数学的东西？Alex，你能分别为两种观点作最有力的辩护吗？
你说了两件事，我想把它们区分开：一是“解决数学”，二是“摧毁数学”。先把问题说清楚：解决数学是什么意思？回想象棋引擎刚出现时，人们觉得这太棒了，我们可以下“半人马象棋”——一个人加一台电脑，对阵另一个人加一台电脑。但这种玩法只持续了十秒钟左右，电脑很快就强到这种程度：只要你不选电脑推荐的头号棋步，就会输。于是人在棋局里的作用就成了：“好，接受第一步。好，接受第一步。”这就没意思了，现在也看不到多少半人马象棋了。
事实上，我刚和同事 Thomas Koberda 谈过，我们把对未来可能走向的论证公理化了。其中有一条，为了讨论方便，我愿意接受的公理，我称为“已解决公理”。它说，假设未来某个时候——我们离那里还很远，我也不认为一定会到达那里，能力是否会遇到瓶颈还得观察——任何人类与 AI 合作能够解决的数学问题，AI 单独也能解决。
这就是“已解决公理”。那意味着，人类实际上没有新的贡献可做。你可以对 AI 说：“我有问题 X，我想思考问题 X。”但我能取得的任何进展，都只是按下一个按钮，让 AI 去思考。这不代表 AI 必然解出所有问题；黎曼假设还没有被解决。说真的，我最希望看到的就是它的解答，只是几天前出现的那种进展，我原本没想过自己有生之年能见到。所以不是 AI 会解决每一个问题，而是它会解决所有人类与 AI 合作能解决的问题。这就是那条公理的意思。我的问题是：如果我们有一天进入这种世界，数学就一定会被摧毁吗？我很明确地认为不会。
如果这条公理成立，人类的作用是什么？
我认为，纯数学——不是工程数学，不是用来治愈癌症、制造喷气背包或实现其他技术进步的数学——之所以存在，是因为我们好奇，想要证明定理。我不认为定理的解答以数据中心里的 0 和 1 的形式存在，就对人类有价值。纯数学的价值在于它存在于人类的头脑中。
我想补充一下。谢谢你直接提出大家都在想的问题。不过我会提醒大家，别把这一切过度拟合到单一目标函数上。过去我们觉得自己是周围最聪明的存在，觉得人类数学家能攀上最高的树梢。但现在我们面对的是，许多问题——
数学不只是得到定理
……我们原以为还要过很久的问题，AI 已经解决了。但也许有一点可以让我们宽慰：相较于 AI 的解题方式，我们的计算能力确实有限。要证明同一个定理、抵达同一个终点时，我没法把那么多论文和想法同时放在脑子里。因此，要到达同一终点，我或许得发展更一般、更抽象的方法。这样做不仅能解决一个问题，还能解释各种联系，或带我们进入其他方向。回头看自己写过的论文时，发现不同研究领域之间有时存在看不见的线索，真是很奇妙。发展出一套理解问题的方法，能帮助我们处理周边的问题，而不只是用 Lean 把一个定理形式化并证出来。
有意思的是，你说那些有时看不见的线索，现在对 AI 系统而言似乎相当清晰。这或许正是它们能取得这么大进展的原因：它们可以从海量论文中抽取这些线索，再顺着线索往下挖。
这取决于你所说的“线索”是什么。对我来说，证明结果是为了更好地理解周围的世界。数学是抽象和理解事物的一种载体。得到重大结果时，重要的不只是命题为真，还有你在过程中学到了什么。人们通常首先会问：“好，你证明了一个了不起的结果，但你是怎么做到的？”等大家消化了这个新想法、新定义、新视角，附近还有很多其他问题也会迎刃而解。这样你就建立起一套结构，帮你攻克的不是单独一个问题，而是一大片问题。
做到这些并不一定需要完全形式化的结果。有时我们会用很不严谨的比喻来推理，帮助自己概念化周围的世界。
Alex 曾私下提到“注意力就是一切”。人类能够把注意力聚焦到某些特定领域——那些所谓“重要”的领域——这件事起了多大作用？也就是说，人类能够提出正确、重要的问题。
AI 出现之前一直如此。你可以想象我们有一组公理，从公理出发可以进行逻辑推演，得出可证明的定理。但可证明定理的空间，远远大于人类真正关心的定理空间。所以几乎可以说，这是个同义反复：我们会兴奋的定理，就是人类在意的定理。也许 AI 能说服我们某处存在有趣的结构，或者给出一个新定义，说“嘿，看看这里”；但目前它还没做到。
有时，我们选择关注某件事的机制也可能带来应用。纳维–斯托克斯方程与流体以及各种自然系统相关。不过，有些问题也可能只是因为美与难的某种结合而吸引我们。或许其中有一种直觉。素数里有很多复杂问题，眼下看不出明显应用，但它们就是牵引着我们。追求困难问题的过程中，伟大的应用数学、工程以及现实问题的解法也可能随之出现。
举个例子，我做研究时可能有个更大的目标想实现，但通常我会先找一个最简单、最不起眼的开放问题——
数学家做的不只是证明定理
……一个我仍然不知道怎么解决的问题。把问题消化、简化到那种让人觉得“天哪，这怎么可能还不知道”的程度，会让人感觉走在正确的路上。解出这个例子后，我们也许就凑齐了攻克其他问题所需的一套工具。因此，我认为我们必须更有意识地思考：我们在乎什么？从元认知的角度该如何使用这些工具？究竟哪些事情该交给它们，哪些不该？我们才刚刚起步，还在摸索中逐渐拼凑答案。
一方面，寻找证明就像探索一棵可能性之树。你可能会根据见过的其他证明形成直觉，判断该往哪个方向走。但有时我们会遇到分支因子极高的节点，根本不知道该走哪条路，甚至不知道走下去会发现什么。如今在数学这个“半人马”世界里，我们突然有了另一个可以互动的智能体。如何恰当地使用这个工具，寻找优美的理论，是一件有挑战、也会不断演变的事。但别忘了，我们在意的不只是定理。
我是数学家，也是理论计算机科学家。为了让自己接受正在发生的变化，我也开始更广泛地阅读社会科学。有个概念一直留在我脑海里，我觉得很有意思，叫“门房谬误”：把一份复杂工作简化成最简单、最显眼的任务。门房是做什么的？大概就是人们进出时帮忙开门吧。我们住在纽约时很喜欢和门房聊天，他们都是很棒的人。但如果你只把工作简化成开门，就会想：“我装个能检测进出、自动滑开的门，不就能取代他们了吗？”这样就忽略了他们工作中所有那些很有价值、却更难说清楚的部分。
我觉得这也能帮助我们理解 AI 时代的数学。数学家做什么？最简单、最显眼的一部分就是证明定理。证明费马大定理这类悬而未决数百年的猜想，是非常显眼的事，我们也花了很多时间把它们传播给大众。但数学家做的不止这些。我更愿意把数学家理解为深入思考的人；证明旧猜想是深入思考的副产品，而深入思考还会带来新理论、看待旧事物的新方式，以及新的概念联系。这些事情或许最终也会被 AI 接管，但此刻还没有发生。因此，虽然这是个重大的时刻，现在还不是按下恐慌按钮的时候。我们应该重新审视自己的价值观，在整个领域展开这些对话，并记住我们的工作有许多不同的审美和目标。当某件事变得廉价，比如解决定义明确的问题，和它正交的其他事情反而会更有价值。
这段话真美。我查了一下 Perplexity 对“门房谬误”的解释：把一个人的工作缩减为最显而易见的任务，并据此认为自动化该任务就能取代整个角色的价值。酒店会说：“我们花钱雇人开门，自动门更便宜。”可实际上，门房还会欢迎客人、认出常客、搬行李、叫出租车、提供安保并劝退不受欢迎的访客，还会——
美、洞见与学术制度
……还能体现身份与声望，让客人感到被照顾。
那是我最喜欢的一部分。我查了一下门房的工作，天哪，我们和数学家有很多共同点。如果我不能体现品牌价值，我都不知道自己在做什么。
正是这样，很有意思。但我认为，我们人类——包括数学家——要做的，是列出清单，明确说清楚人类究竟做些什么。你们都还没提到美。我先道歉，如果我之前已经提得太多了。从我这个局外粉丝的角度看，数学家有点像美的阐释者，或者广义上研究美的学者。
完全正确。直到五秒钟以前，解决新的深刻定理的能力，和我们人类数学家真正想要的东西几乎完美相关。而我们想要的正如你所说，是美、理解和思想深度。现在只要按个按钮，就能得到过去作为这些品质替代指标的东西，不需要付出努力，不需要深入思考，甚至不一定需要知识。有人说“来个突破”，然后把找到的结果发到 Twitter 上。那数学家现在该怎么面对这种局面？
比起回答问题、解决问题，我会再往前退一步：提出正确的问题。我认为，好的问题解决能力体现在提出恰当的子问题，提出有趣、能解决、也能解释的问题。我们一直很看重同事提出好问题的能力，今后这种能力会越来越有价值。
我完全同意。还想强调刚才隐含的一点：提出正确的问题，需要很强的数学洞见。
嗯，绝对如此。
人们常常会说：“今后我们会看重什么？是提出正确的问题，是做精彩的演讲。”我不想贬低这些任务中的数学洞见——你刚才也没有这个意思，我只是想明确这一点。说演讲会变得更重要时，我并不是说我们都会变成 Twitter 网红或 TikTok 名人。
但愿不会。
真正突出的是那些被学术共同体采纳、并随着时间变得有影响力的思想。我想把话题拉回 Lex 之前问过的一点：与研究生看待这件事的方式相比，我可能过于乐观了。但近期我最担心的是我们的制度和机构会发生什么。
这不只是招聘、终身教职之类的问题。研究生刚开始读博时，是这个领域的新来者，要吸收本领域的技术，了解重要问题，并想办法建立自己的声誉。过去我们会给他们一张很简单的路线图：挑一个大家关心的问题，把它证明出来，人们就会知道你是谁；你会在顶尖期刊发表论文，机会也会向你敞开。如今这张路线图在很多方面都变了，因为眼下出现的结果太多，多到让所有人应接不暇。我觉得我们可以花些时间重新思考这张路线图。我们仍然关心那些能影响共同体的思想，只是很难再用简单的标准把它们操作化，作为建议交给学生。所以我仍然乐观，只是我们需要——
重新设计制度与路径
花时间重新设计许多制度和机构，来适应这种变化。
AI 能创造新数学吗？
顺便说一句，回到刚才的话题，我其实不相信“已解决公理”，也不认为我们到了那个阶段。我可以证明一个定理，却不理解证明为什么成立；某些神奇的事情在这里发生了。只有当我把这个现象推广，并且更深入地理解它时，我才会明白证明为何如此有效。也许这就是我不相信“已解决公理”的原因之一，因为我们所做的事情更具探索性。好问题是什么，远远超出“这是黎曼假设，去取得一些进展”这种指令。
我觉得你还提出了一个非常重要的点：概念的一般性和推广能力。谈到数学之美，一个黄金标准始终是：你的结果能有多简洁，又能推广到多大范围？在无穷多可证明的定理中，找到简单且具有普遍性的结构，我认为这仍是黄金标准。只要没弄错，现在仍然是人类在提出问题。即使 AI 证明了纳维–斯托克斯方程的存在性和唯一性，也是人类在引导、在人类提出问题。如果有一台机器能证明你提出的任意定理，我很想看到下一次突破：我希望它开始告诉我该问什么问题。
你觉得机器有没有可能只要跑个循环，就找到所有简单且可推广的东西——基本上找到所有的“E=mc²”？
这其实已经在发生了。有些研究项目正在系统地自动发现某种最简物理定律。这与其说是数学定理，不如说是支配物理现象的定律和方程。
也就是观察自然系统，看看能不能从中找到描述其运行方式的简单物理定律。
对，把它提炼到最基本的形式。这样就能重现已知理论。观察球体下落，可以推导出重力和 F=ma；观察流体，可以推导出纳维–斯托克斯方程。再把这种方法用于数据，我们还没能写出描述天气、湍流、太阳耀斑之类现象的简单方程。我猜数学里也有类似的事情，也许存在一些可以推导出来的最小组成部分。
数学里是否有很大一片简单且可推广、能被自动发现的内容？
我所说的“已解决公理”是：凡是我作为人类数学家能做的事，AI 也能独立做到。我好几次试着坐下来想：“好，LLM 永远做不到我做的这件事。”然后我又想：“为什么不能？我能提出问题，也能问它该问什么问题。”它是如此通用的系统。我不是说它现在所有这些事都做得好，而是说，凡是我作为人类能贡献的，它也可能独立贡献。
我真正想表达的是价值问题：我给共同体带来什么？在这个“已解决公理”的世界里（我再说一次，我并不相信它），我的贡献不能只是“我提出了一个好问题”或“我证明了一个好定理”。即使在那种世界里，我认为仍然需要数学家，需要具备人类数学专长的人。
Ankur，你相信“已解决公理”吗？你觉得我们能接近它到什么程度？在这个范围里，你认为人类扮演什么角色？
我想我并不真的相信它。我觉得它也许有一半是对的；弄清楚哪一半成立，会是非常有趣、也很有挑战的事。所以我认为会有——
AI 的数学方式与人类不同
……AI 还能解出什么，未来还会有重大惊喜。但面对一种非常强大的新技术，危险在于：我们试图理解它为何有效时，会不自觉地把它拟人化。
深度学习或许已经给过我们一些教训。有一些很惊人的例子：神经网络能达到人类水平，甚至更好地识别物体。但总体而言，它成功的方式不如人类稳健。比如对抗样本：在自然图像里加入非常细微的图案，就能彻底骗过物体识别系统，却骗不过人。
我以前在 MIT 的同事 Alex Madry 做过一些很棒的研究，我很喜欢。他们的论文题目好像是《对抗样本是特征，不是漏洞》。他们做了一个很有意思的实验：拿一批自然数据，比如猫和狗的照片，训练深度网络，让它很好地识别猫狗。接着给图像加上一些对抗扰动，让 AI 把猫看成狗，或者反过来。可以把它想成一种改变物体检测器工作方式的小图案。然后建立一套完全虚假的数据集：猫的照片上叠着狗的图案，就标注成狗；狗也同样处理，标成猫。很奇妙的是，用这套标签全错的数据训练深度网络，它在自然数据上仍然能表现良好。
我们识别猫和狗时，似乎会依据我们能描述的特征，例如腿、尾巴和整体形状。但深度网络或 AI 有时会找到解决问题的“后门”，利用数据中大量人类不会使用的统计关系。所以我认为，别把人类能做、AI 不能做的边界划得太死，否则你会判断错。不过，这不表示我不相信某种边界最终会出现——至少因为我们过度拟人化了它们解决问题的方式。看 OpenAI 的那些解法时，我觉得它们看起来就不像是人类解决问题的方式。因此两者仍有很大的定性差异。这其实给人机合作、给“半人马数学”带来了机会，没必要只担心 AI 统治者。当然，谁知道呢？下周我也可能就错了。
你直觉上觉得，这些成果有多大程度是 AI 把成千上万篇彼此分散的论文串起来，沿着不同论文之间的线索追索，最后把原本已藏在这些论文里的证明阐明出来，只建立一些小联系？还是说，它真的发展出了新的数学思想？你有没有看到类似围棋中 AlphaZero 那步“天才妙手”的闪光？
对，第 37 手。
第 37 手。
我没读完他们的七百篇论文。我看过的那些，有人会轻蔑地说：“哦，这些都在凸包里。”也就是说，把我们人类已知的几步棋走得非常好，再做很出色的树搜索。我不会称之为“凸包”。Tim Gowers 有个很好的说法，他把它称为由所有这些元素生成的半群。没错，这仍是在组合已知的招法，但已知招法的组合所能做到的事情，远远超出这种带贬义的说法——
凸包与半群：新思想从何而来
……“凸包”。以准黎曼假设为例，AI 采取的每一步都是人类已知的步骤，但它把它们串成了一个很长的推导链。你看着会震惊地想：“天哪，真美！你怎么想到先走这一步，再走那一步？”当然，我这是在拟人化。它确实把这些步骤串起来了。
能不能向更广泛的公众解释一下，半群和带贬义的“凸包”之间的直觉区别？当然，准黎曼假设就是那项重大证明之一。
我试着这么说。想象一个气球，气球内部就是它的凸包。数学家想出的所有结果、所有想法都在这里，而气球里的任何东西都可以看作它们的线性组合。但它给人一种紧凑、封闭的感觉；AI 还没有把气球撑大，没有给我们一个新想法。
“凸包”之所以带贬义，是因为背后的直觉是：数学家本来就能做到，因为这已经相当显然，早已处于被思考和发展过的想法范围之内。
对。AI 读过每一篇论文，把这些内容都内化了。这不仅超过任何人脑能够容纳的量，甚至超过人类有时间去阅读、学习、内化的能力。因此在广度上，它胜过任何人。但说到深度，它真的产生了全新的想法吗？至少就准黎曼假设而言，可以说并没有。那是许多非常知名的成果的优美组合。很多人会懊恼，自己二十年前就有过那个方向的一些想法；而两年前，立方 theta 函数和立方 Gauss 和方面出现了一次重大突破，最终成为 AI 求解所走的路径。
和凸包相比，我把半群想成铺瓷砖：你在棋盘上放一块砖，再把其他砖放在它的左边、右边、前面或后面，然后不断拼接。这就像半群作用。问题是，这样能走多远？也许能走得非常远。利用已有想法，可能证明出远超人类迄今探索范围的许多结果。
所以你的直觉更接近半群方向，也就是说，你至少看到了一点扩展的迹象，而不只是凸包内部的线性组合？
我觉得我们如何诠释 AI 正在做什么，取决于我们自己。但数学史上一直有这样的事：一些表面上很难、很深的问题，最后有人给出只有三页的解法，既初等，又能讲给本科生听，而且在问题提出时二十年前就可能被发现。要是当年发现了，它大概只会成为某本教科书里的练习。正因为它没有被发现，聪明人长期投入、逐步取得进展，还把问题变得非常有名，所以等它终于解决时，就成了一件大事。
数学里时不时就会发生这种事。一年前我写文章时——那年夏天有国际数学家大会，我得提前十个月提交会议论文集稿件——我当时想：“现在写数学和 AI，十个月后还会有什么内容相关？”我觉得里面有些内容现在仍然——
新结果会改变研究方向
……仍然有长久价值。我仍然认同自己写下的观点：我们会发现，许多原以为当前技术无法触及的问题，其实只要以恰当方式把已有材料组合起来，就能解决，而这正是 AI 擅长的。有人可以把它理解成“这些解法都在凸包里”。你愿意这么叫也行，我觉得这种说法并非毫无道理。
我喜欢这些比喻，包括气球。气球的关键是内部和外部的边界；“凸包”带有贬义，是因为看起来边界没有改变。但我觉得这些问题确实改变了边界。更具体地说，OpenAI 那批问题公布之后，人们今后会研究的内容将永远不同。至少其中有几个结果会改变整个领域，影响我们给年轻研究者出什么题、探索哪些方向，因为我们对整个版图的认识已经变了。
所以不只是版图扩大了；扩大的过程本身也改变了有趣问题的方向？
对。有个最容易解释其影响的例子其实不是 OpenAI 发布的，而是 Anthropic 的一项结果，由我的同事 Virgie Vassilevska Williams 和 Josh Alman 写成论文，研究的是 3SUM 问题。我认为它对所谓的细粒度复杂性理论影响很大。令人惊讶的是，一个编程面试里会给人做的基础问题，竟然能用渐近速度快得多的算法来解决，比此前已知方法快很多。这和这个领域的判断相反。整个理论曾围绕这样的想法建立：如果这个问题确实这么难，那么其他许多问题也会继承它的难度。
现在，这个问题比我们想象的容易，算法也稍微更好一些；这当然会给整个领域带来许多新算法。但它也改变了整个领域的性质：原先的目标是把这些问题放在一起研究，认为它们应当作为一个整体来考察；现在我们或许又回到另一种局面，也许逐个研究它们反而更合适。
因此，我认为这些例子说明，无论我们能从中得到多少深刻、全新的、可推广的想法，仅仅知道某个定理为真，就会改变人们如何组织该领域的研究。而对某些问题来说，已经不可能再把精灵塞回瓶子里。
想象一下，如果七百个结果之一是能在多项式时间内完成因数分解，那绝对会改变一切。大家都会知道：你再也不能用信用卡在 Amazon 上购物，电子商务都完了，安全通信也全完了。
能解释一下多项式时间因数分解吗？
可以。给我两个各有一百万位的大数，我能在一瞬间把它们乘起来。如果你让我反过来做，比如给我两个大素数的乘积，让我找出是哪两个数，也就是做因数分解——学校里不是教孩子怎么分解因数吗？这其实是个谎言，我们并不知道怎么做大数因数分解。正因为我们不知道如何分解，才有能力以各种安全方式彼此通信。现代世界基本上依赖于我们没有一种算法能把大数拆成它的素因数。
很多电子商务依赖于此，因为许多公钥加密方案以它为基础。不过大家熟知的是，量子——
新想法会扩展数学的边界吗？
……因数分解算法。所以如今大家也非常重视寻找后量子密码学的基础。
对，比如基于格的方法。我们已经在担心未来有足够强大的量子计算机时会发生什么，不过在量子计算机强大到足以让这成为现实问题之前，我们还有一点时间。但理论上并没有什么理由能保证安全。因数分解大概不是 NP 难问题，不过假设我们证明 P≠NP，这当然会非常了不起；如果证明 P=NP，那就会彻底——
那会非常有意思。
我之后会在复杂性理论的大背景下深入问这个问题。不过我想，OpenAI 或任何其他公司都不会轻率地公布这种结果。
这种事情应该经过政府……
有些数学结果显然会对世界产生巨大影响。另一些结果可能要花几个月才能消化，但如果是那个结果，它会影响整个国家的经济体系。
NSA 雇用了多少数学家？
几千人。
几千人，就像这种情况。我总会做这样的思想实验：他们可能掌握什么却绝不会告诉我们？十年前，有些证据显示，只要把问题恰当地拆分，合作的数学家团队就能解决比任何单独数学家难得多的问题。不知道你介不介意我再回到刚才的比喻——
当然。
我其实更喜欢半群而非凸包的比喻，但我觉得“凸包”不应该像现在这样被当成贬义词。即使这些机器只是在插值、组合人类知识，而不是向外推演，也一样有价值。即便存在一个由人类创造的想法碎片拼成的凸包，我们也没有足够快地完成这样的组合，而且其中有很多不透明的地方，这个气球并非透明。如果 AI 能让凸包更透明，像拨开迷雾、给数学家装上雷达，让他们看到地平线另一头的东西，那已经非常了不起。我认为完全不该把这视为贬义。不过我确实认为，它做的事情比这更像外推。
也许我们该说凸包有多大？实际上我们并不知道。
这正是重点的一部分。我们不知道它有多大，也不知道哪些东西彼此相邻。我们对已知的一切仍有很多迷雾，拨开迷雾是件令人兴奋的事。
但人类确实会提出新定义、引入新概念，这从根本上就不同于组合已有想法、重新包装它们。人类时不时会做到这一点，感觉就像出现了一个新的边界点；然后，我们又可以从它出发，讨论能够证明的内容形成怎样的凸包。你可以拉动这个气球，让它扩张——
而且我们知道它什么时候扩张。我们似乎能凭直觉认出来。
新技术也会改变研究者的典型形象。回顾数学史时，我总会惊叹，很多非常不同的数学分支其实源于相似的想法。早期发展由许多联系推动，但随着时间推移，各领域逐渐专业化。我认为我们培养研究生时，必须确保他们不会以同样方式变得过度专门化。
论文之外的学术贡献
我不知道未来招聘和学术期刊会是什么样。但我猜，能够广泛思考数学更大范围问题的人，最有机会从这些技术中受益。可以问一个听起来有点傻的问题吗？几十年来，研究的重要组成部分一直是论文。你猜未来几年会怎样改变人类贡献想法的方式？个人或团队又会怎样把自己的想法带入公共空间？
我不清楚纯数学会怎样，但在工程和一些应用科学里，我们对学术贡献的看法已经在快速变化。如果你为一个更大的基础设施写代码，成果可以复用、支持更大的项目，比如 LIGO 这样的项目，或者耗资数十亿美元的天文学项目，或需要数百人和大量资源的癌症研究项目，那学术贡献就不一定是一份 15 页的 PDF。这里有很多不同部分：代码、数据、可复用组件，可以整合进更大的框架。
我觉得在 AI 时代，这种趋势显然更重要了：一小段可用的组件、部件、API、代码库或数据集，如果社区或 AI 能够利用它，价值就越来越高，甚至可能超过单独一个结果或一篇论文。当然，我不知道这在纯数学里会是什么样子。
你能谈谈你对这些变化的看法吗？看看 arXiv 的疯狂发展也很有意思，它在某些方面类似 GitHub 上发生的事。开源运动中很多人不知道该怎么办，有人甚至预言 GitHub 会消亡。
为什么？只是因为 GitHub 上新增的代码太多，平台承受不了这种增长吗？
开源运动成功的原因之一，是每个代码仓库通常有一个或少数几个人在维护，他们会——
在心理上、在许多方面都被大量拉取请求压得喘不过气，根本管理不过来，最终精疲力竭。开源运动，也许和学术环境类似，需要人保持动力。如果人们像 Terry Tao 提到的那样被耗尽，就会退出。这是我们要设法避免的一种失败模式。
数学期刊早在 AI 出现之前，就已经承受巨大压力，和 AI 毫无关系：产出知识的人越来越多，投给期刊的稿件越来越多，期刊得负责审稿，而审稿人已经精疲力竭，还得花大力气理解并核查这些定理。我认为唯一比现有体系更糟的，就是没有这个体系。
因为数学认识论，也就是我们抵达真理的方式，刻意追求缓慢、谨慎和精确。回想 Perelman 证明庞加莱猜想的过程：他把论文放上 arXiv，世界各地的人都震惊了，于是邀请他去做报告。他去了 Stony Brook、NYU、Princeton，在美国各地、世界各地奔波，做即兴的三小时讲解。或许其中一小时是他解释自己在做什么，另外两小时是大家问：“第二页上——”
数学共同体如何核查成果
……“第 147 页的引理 412，我不明白你是怎么做到的。”然后他走到黑板前，花半小时给大家讲解自己是怎么推导的。因此，完整的证明其实都存在他的脑子里。他已经尽最大努力把它写在论文上，接下来就要靠我们共同体非常仔细、详细、精确地重新核查，然后确认：“是的，这是庞加莱猜想的真正证明。”这花了好几年，也付出了大量人力。所以提出一个解答只是整个过程的第一步；后续必须审慎推进，并由共同体共同完成。这就是期刊系统试图实现的目标。
你提了一个很有意思的观点，凸显出一种传统看法：纯数学家是孤独的天才，解决一个独立的问题，然后向全世界解释。在许多其他领域，我们早已超越了一个人能够独自推进电路设计、飞机设计、蛋白质折叠或天文学的阶段；这些领域需要投入数十亿美元的合作项目。再说，我是工程师，所以我会觉得，当共同体遇到这种组织方式的危机、从个体走向集体模式时，显然需要领导力。这很有意思，因为我认识很多数学家；从组织文化来说，他们是非常独立的一群人，不喜欢被人指挥，不喜欢被人规定研究什么，天生就很独立。我们喜欢独处和单独工作，这大概也是我们花这么多时间做数学的原因。
我觉得这说得很好。看看数学和物理的工作方式差异也很有趣，比如大型强子对撞机这样的项目。我想提出一个相反的看法：绝不能白白浪费一场好危机。我同意期刊和会议都已经超负荷。我们一直投入很多精力来审阅和处理这些工作，现在又要面对一个问题：有人得审阅这些 AI 生成的论文。其中一些很重要，但让共同体参与其中并不容易。我不知道最终会怎样，但我很支持寻找新的模式——不是取代旧模式，而是减轻已经出现的压力。
我很想看到一些新方式，让大家协作核查 AI 证明。比如 OpenAI 公布的一些结果涉及快速傅里叶变换的改进；人们在推文串里讨论并改进常数。我不知道该怎么评价，我甚至不看 Twitter。但我觉得我们需要想出其他合作方式，既能记录每一项改进的当前状态，也能组织和驯服这些想法。
出版物的现行观念颇值得注意：你辛苦写好草稿，贴到 arXiv 上，那就是你的草稿。之后你也许会更新，发第二版、第三版，但草稿属于你。共同体没法直接在上面添加注释，比如“我觉得这个论证可以换一种做法”或“这里可以简化”。也许我们需要其他模式，让大家通过众包协作，使理解不断演进。我非常支持。
还有，我很喜欢做研究报告。我做研究报告最喜欢的一点，就是可以把论文里所有杂乱复杂的内容——
Lean 与 Mathlib：让数学像科学一样协作
……那些你只需要把细节补齐、把每一步写清楚的内容，其实并不是最让你兴奋的部分。真正令人激动的是某个关键想法，或者某个特别能体现这个想法威力的特例。你真正想向别人讲的就是那部分；有人问我“引理 57 是什么”，我根本记不得，对吧？
也许我们可以重新思考论文这种形式：它仿佛是一个巨大的整体，目标是把一切都写下来、完全形式化。但现在，我们可以在一定程度上信任 Lean 的形式化证明来处理一些技术性构件，这或许能让我们重新设计写作方式，把更多重点放在传播那些想法上。
Mathlib 的模式正是你说的那样：不是论文，而是一个 PR，也就是拉取请求。维护者和审稿人会检查 PR，提出修改建议。期刊当然也有审稿人会建议怎么改进，但那不是公开的过程。在 GitHub 这样的开放工作环境里，你能清楚看到是谁提出了什么想法、如何简化论证，或者某个想法是否已经存在于库的其他部分、可以直接引用并重构当前内容。
Mathlib 通过形式化工作，让我们第一次有机会这么做。数学的一个问题是，我们没有为定理和技术性引理写出完全清晰的规范说明。你随便翻开一本数学书，看一条引理，里面依赖了大量上下文。作者要把每一点背景都写出来实在太麻烦，于是就假定你读过前面六十页，然后直接告诉你引理的下一步。但这样你就不能像火箭制造者拿起一件现成零件那样，直接把数学结果从架子上拿下来使用。
如果未来所有数学都以形式化方式完成，规范就会内置在对象中。你不会以错误方式使用它，因为 Lean 不会允许你这么做。这就是数学众包协作的模式，也是 Mathlib 十年前创立时的梦想：让数学以更像科学的方式运行。
插一句，能不能给大家解释一下 Mathlib 和 Lean 是什么？我们提到好几次了。
理想情况下，数学是一个形式化过程：从公理化系统出发，再应用逻辑推理规则。如果你们高中还学欧几里得几何的话，它应该就是孩子们第一次接触证明、看到公理体系的一种典范。
你可以把这个想法写进软件里，告诉软件：“这是数学的实际公理，这是逻辑推理规则。”Lean 属于一类有悠久历史的软件，叫交互式定理证明器。你逐行编写证明，计算机会告诉你：“对，这一行确实是从上一行的目标状态通过逻辑推理得到的。”Lean 可以检查各种事情，包括代码规范是否符合你想要定义的内容。它最初是为了实现无漏洞代码而设计的。希望未来我们能有无漏洞代码，因为 AI 系统很擅长发现人类代码中的错误；这一用途正变得越来越重要。
另一个用途是核查数学结果，让你以非常形式化的方式写出数学成果。Lean 本身就像负责检查逻辑步骤的硬件。你不希望每个数学项目都从定义自然数开始，用零和后继函数来重新建立皮亚诺公理——
形式化证明与人类理解
……自然数。因此，有一个规模庞大、维护良好、组织有序的通用数学库很有用。Mathlib 就是这样的库：它是 Lean 生态系统中用于形式化数学的库。Lean 只是交互式定理证明器之一，类似工具还有很多。若说存在数学证明器之争，Lean 目前算是占了上风——如果真有这场争论的话。
这也是用于证明 OpenAI 发布的那些证明正确的技术之一。
对。现在这已成为常态，因为自动形式化发展到了一定程度，AI 系统不仅能用自然语言证明定理，也能写 Lean 代码。你不能相信它们的自然语言证明；这些系统是随机过程。它们说出某些内容，不代表它们脑中一定有数学模型——不管这究竟是什么意思，也不代表它们像我们一样理解数学。但这没关系，因为它们可以写 Lean 代码，基于 Mathlib、基于“素数定理项目”等成果，再一直核查到公理层面，确认问题确实得到了解决。
我想在这里岔开一下。这个思想实验现在听起来可能有点哲学意味：假如你有一个黑箱，能给出你无法理解的证明。更有意思的情况不是证明太长，而是它的想法根本讲不通，连那个领域的世界级数学家都无法理解。你会怎么处理？
某种程度上，几乎根据定义，唯一能让数学变得不可理解的原因就是规模，因为逻辑推理规则是写出来的，而且只有少数几条；公理也只有少数几条。
我想提出一种相反的看法。
好，请说。
我还在想，数学的“去形式化”会是什么样子。形式化当然极大地提升了我们对结果正确性的信心。但我们自己理解结果的方式，很多时候实际上处于某种非形式化层面：什么是有趣的特例？我们正在使用的技巧从何而来？也许那个世界会是这样：有了这些黑箱后，我们会设法把它们拆解开来，试着问更简单的问题，从而建立某种理解它们究竟如何得到答案的体系。
对，写论文时我们常把两件不同的事混在一起：证明的工程构造，以及把证明讲给别人听。这两者几乎彼此矛盾。我有过这样的经历：去年秋天我教实分析，随便打开一本实分析教材——我自己上实分析课时也有同样经历——前几堂课都在讲什么是实数，怎样把它定义或构造为有理数 Cauchy 序列的等价类。谁知道那堆东西到底是什么意思呢？一个学期的实分析课可能要花两周才讲到那里，然后我们终于得到实数轴，可以开始用正式的 ε-δ 定义做微积分，诸如此类。
这总让我觉得很奇怪，因为上课之前我就知道实数是什么：就是数轴。然后我们花两周讲有理数的 Cauchy 序列，第三周它们又成了数轴。这到底是为了什么？这是因为书的写法、或者过去的写法，非常偏向工程构造：你必须先构造实数，才能开始使用它们。但人类早在理解实数需要形式化构造之前，就已经在使用实数了。所以我上课时直接进入 ε-δ 微积分，先做了六周计算，直到我们走到这样一个节点：等一下，如果这里有个定理，它在实数里是真的，那就有——
数学理解与问题的故事
……收敛，也就是所谓的波尔查诺–魏尔施特拉斯定理。你有一列实数，它们不断跳动，但始终处在一个固定范围内，那么一定能找到一个子列，收敛到某个实数。
可是在有理数里，这不成立。为什么在实数里成立？实数是什么？只有遇到一个需要解决的问题时，你才会开始问这个问题。所以，我教这门课的方式，和把它当作工程项目时应有的教法正好有些相反，因为如果你要构建理论，在构造实数、弄清它们是什么之前，不能直接开始谈实数。
如果你是在搭建理论，这样做是对的；但如果你是在讲一个故事，就完全可以直接从实数开始。你对实数有直觉，在直觉失效之前，不必先弄清它们究竟是怎样构造出来的。所以我觉得，未来我们写论文的方式会很不一样。我们会花更多时间讲这个过程的故事：我在这个过程中学到了什么，有什么有趣的地方。这里、这里、这里照常做；但到了这里，你会卡住：该往哪儿走？为什么往左走，而不是往右、往上或往下？然后会提出一个想法来解释。与此同时，还会有一份 Lean 形式化证明附上，确保工程实现确实成立。因为光讲故事是不够的。数学不像音乐，你可以讲一个很美的故事，哪怕某处出现平行五度、违反了某条规则也没关系，毕竟巴赫总是这么做。
我觉得这是个非常重要的观点，我想强调一下 Alex 提出的这一点。有一种我并不认同的数学观，认为数学就是定理数量不断增长。人们会问，AI 怎么会有害呢？它不过是在推动定理数量不断增长。可数学远不只是我们拥有多少条定理。数学也关乎与问题搏斗的故事：你和一个好问题较量，它会反过来抵抗你，而你会因此对它有所了解。数学真正关乎的是，你在与问题搏斗的过程中形成的那套信念和抽象；你会发现更普遍的含义，适用于更广泛的情形。
我觉得，现在正是摆脱这种观念的大好机会——仿佛我们只是在不断添加公理，直到得到下一个定理。讲述我们实际上是怎样走到这些问题跟前的，以及它们和其他问题有哪些相似之处，在这个关键时刻比以往任何时候都重要。
是的，回到你关于这是否只是规模问题的提问：是的，这确实只是规模问题。不过，正如 Ankur 所说，我们看待数学的方式关乎故事。我们可能并不理解这个证明背后的故事。你可以逐行跟完一个证明，却仍然不明白真正发生了什么。
也许你可以请另一个大语言模型来解释这个故事——如果它能讲出来的话。但我们想要的就是故事，我们想要的是理解。
“你和一个问题搏斗，它也会反过来抵抗你。”我觉得这句话揭示了人类所从事的一切伟大事业中的一个深刻道理。说到这一点，我想和你们聊聊人类有史以来与数学中一些最难的问题进行的伟大搏斗——其中一些问题已经被攻克了。不过，如果可以的话，我们先休息一下。Alex，你是数论学家……
黎曼假设
或许可以说，黎曼假设是你所在领域的核心问题。你在前面提到的 Twitter/X 上，对所谓的准黎曼假设，也就是准黎曼假设证明，表现出了很大的兴奋。你能解释一下吗？黎曼假设是什么？你为什么对此这么兴奋？
黎曼假设有一个一分钟版，也有五分钟版，或者三十小时版。我不知道你想讲多深入。
我们就从这条线索开始往下挖吧。
我们知道什么是素数。人们关心素数的分布。黎曼发现了一个函数——这简直太不可思议了——它以复数为输入，输出也是复数，而且这个函数支配着素数的行为。它叫黎曼ζ函数。
ζ函数的零点，指的是使函数输出为零的复数输入，也就是复平面上的原点。问题是，这些复数零点在哪里？哪些复数输入代入ζ函数后，会得到复数零这个输出？
这到底为什么会跟素数有关？复数？你在说什么？我们有这些离散的数，它们在数轴上的自然数中，除了 1 和自身以外没有其他因数；现在你却要讨论从一个复空间到另一个复空间的函数。这正是伟大的突破：想出了如何对素数进行信号处理。
想想为什么人们能听见你，也能听见你的播客：我的声带产生声压波，这是自然发生的空间。然后声音进入麦克风，麦克风对它进行分析，做傅里叶分析，把它转换成振幅和频率；最终就是一串数字，麦克风会存下这些数字，或者把它们发送出去，等等。扬声器再把这些数字拿来，重新还原出听起来像我声音的声音。
ζ函数对素数做的也是同样的事。你可以把素数想成空气分子一样的粒子，在那里振动；ζ函数对它们做信号处理分析，再把同一组素数还原出来。频率和振幅对应着ζ函数的零点。ζ函数里包含了这些信息。
黎曼假设说，这些振幅——你可以把它们叫作黎曼波——都应该完全相同。这些波叠加起来，就还原出素数的分布。可以想象，演奏素数之乐的管弦乐队里，每一种乐器的音量都恰好一样。这就是黎曼假设的预测。
我们确实知道素数是什么。不过，或许可以从哲学和浪漫的审美观念来谈：为什么素数如此有趣、重要、核心，又如此美？这也和黎曼假设为什么令人兴奋有关。为什么要弄清素数中是否存在某种模式、究竟是什么模式，会这么困难？
先回答你的第二个问题吧。为什么某件事很难，只有在我知道答案之后我才知道怎么回答。
等答案变简单之后。
对吧？也许它并没有那么难。
好。
也许它没有我们想的那么难。我原本不觉得自己有生之年能看到准黎曼假设的证明。所以星期二看到它时，我震惊极了。
你看到它之后的那一刻做了什么？比如，最初三十……
突破超出预期
……之后三十秒呢？你当时是什么反应？还记得吗？
记得。我看到那个消息弹出来时，记得自己在哪里。我们当时在纽约市的国家数学博物馆晚会上。我一只手拿着威士忌，还一直在刷新页面。我一边和人交谈、社交，一边不停刷新，因为我知道消息大约会在美国东部时间六点发布。
消息出来时，我正好在和一位《Quanta》杂志的记者聊天。我们还在聊：“对，他们会放出这些题目，三百、四百道吧？我们不知道具体多少，结果有七百道。”我当时说：“哦，哇，真酷，出来了。”我看着手机，第二条看到的消息就是“准黎曼假设”。我心想：“准黎曼假设是什么意思？你不是说……这是要证明什么？”然后我再一看，讲的是ζ函数，全是狄利克雷函数，所以他们解决的是零点问题。他们真的解决了零点问题。
我心想，这不可能是这次发布的内容吧。这……那一刻我根本没法理解自己看到的东西。
那么短的时间里进步这么快，是吧？
这远远超出了我对可能性的预期。这一个月里发生的事情，一再远远超出我对可能性的预期。费马大定理的形式化证明也是如此，我原以为至少还要三年，我们才可能做到这种程度。
你能具体说说吗？它是用 Lean 形式化的。费马大定理的 Lean 证明有多大？
大约一千三百万行。
一千三百万行。好。
就在两天前，我还在普林斯顿大学数学系做了一场学术报告，煞费苦心地解释 Lean 是什么、Mathlib 是什么。我还讲到，现今的 AI 系统：有这样一个 Mathlib 库，里面的东西都整理得相当完善，抽象层级也恰到好处。原则上，不应该有重复使用代码、重复证明别处已有定理的情况。每样东西都应该处于最一般、最抽象的形式。AI 系统现在能做的，是在这上面再搭一两层。
但它们目前做的其实是拼拼凑凑。我不是说它们做不到，而是说它们现在还不擅长我所谓的“规范化”：把有点粗糙的代码重构，弄清楚它在库里的准确位置，弄清某个命题、某条引理的规范版本是什么。然后，每个证明都应该只由若干引理组合而成：从这里应用这条引理，从那里应用那条引理，把这些东西合起来，定理就出来了。这样就会非常干净、漂亮、优雅。这正是 Mathlib 力求达到的目标。
我在那场报告里说，我们现在能做到的是：只要某本教材所涉及的内容处于 Mathlib 的覆盖范围内，就能把整本教材形式化。也就是说，相关内容最多只比 Mathlib 已经做过的东西多一两步。但如果你开始让系统处理离 Mathlib 库有三四步之遥的内容——这是我过去的经验——它可能会以一种方式定义某个对象，又因为另一种用途，以另一种方式定义同一个对象；这两个定义就会冲突，没法把它们重新拼在一起。
要达到可以处理研究论文的程度，让 AI 综合大量不同数学领域的成果，Mathlib 真的还需要继续扩充。
所以你会觉得费马大定理要花很长时间，是因为它远在 Mathlib 的覆盖范围之外。
完全正确。凯文·巴扎德拿到了一百万美元的资助，用接下来的五年——我想他可能已经做了一两年了——把费马大定理的形式化证明，化约到 20 世纪 80 年代已经知道的成果上。
他想完成最后一步，也就是怀尔斯和泰勒的工作。他们用了七年，最终证明了费马大定理；而这项工作要建立在一些我们早就知道会极其困难的成果之上……
费马大定理的 Lean 证明
……难得多。他本来不打算做朗兰兹–塔内尔定理，也不打算做马祖尔的工作。还有各种各样的结果，预计会比这五年要做的事情困难得多。那场报告里我说的一切都错了。
我记得那场报告是在星期三。星期五就有人放出了从公理出发的、一千三百万行代码，费马大定理证明出来了。
费马大定理的陈述完全是初等的，没有什么语义对齐需要核查。你看一眼就知道：对，这就是那个陈述。Lean 的检查结果里没有 `sorry`，也就是没有未完成证明的占位符。
能解释一下这是怎么做到的吗？
怎么做到的？是 Anthropic 做的。AI 系统就是变得非常非常厉害。它还不是一个漂亮的证明，不是干净的证明。要把这个证明整理到 Mathlib 的质量标准，还需要做大量工作。我认为这项工作很重要，也是我们想做的。但如果只看得到一个没有 `sorry` 的定理，他们就是一路猛冲，把这些地方拼凑起来，又把那些地方拼凑起来；一千三百万行之后，就有了一个 Lean 形式化的、没有 `sorry` 的费马大定理证明。这简直令人震惊。
顺便说一句，考虑到这一切进展得如此之快，总会有很多人——包括各个领域的世界级专家——说出后来被证明是错的话。这本来就是其中的一部分。人类讨论有趣的地方就在于我们会有分歧。我甚至想说，今天说的所有内容里，大概有百分之四十到八十，五年后都会变成错的，因为一切变化得太快了。但人类讨论、审议、交流，甚至科学过程，正是这样运作的：先把话说出来，看看哪些能站得住脚。十年后、一百年后，情况也是如此。
我说的是我自己的经历。我对 Lean 和使用 AI 都有很多经验。我开始用 Lean 时，AI 还没有我们现在理解的这种形态；当时那是个非常费劲的过程。后来 AI 系统刚刚出现时，它们用 Lean 很糟糕；但它们一点点变好，又一点点变好。我当时想：“天啊，我可以用它来搜索库了。”
我不用再坐在那里苦找：我知道有条引理能做这件事，却不知道它叫什么，也不知道究竟在哪个库里——流形库？代数几何库？我可以直接问：“把这条引理给我，把那几条引理给我。”这太好了。我想：“这太棒了，我要继续用这些系统。”我的每一项经验都告诉我，它们能做到 X，但做不到 10X；而这次相当于一百万个 X。它彻底超出了我心中对这些系统能力分布的预期。
你能大概估计一下，有多少人参与了这件事？他们在生成这一千三百万行代码时，实际参与到什么程度？
我认为是两三个人。
好。
我认为他们大部分时候就是在说：“继续。”而且是全大写。
好，好。所以你觉得他们只是稍作引导，并没有设计整个路径之类的？
据我所知，参与这件事的人并没有领域专长。
好。
就像那个关于 OpenAI 或 Anthropic 的梗：提示词大概就是“解数学题”什么的。
“实现一次突破。”
对，对。实现一次突破。
“实现一次突破。”提示词就是这个，然后它就去做了。
当然，从公司角度来说，你永远不知道。公司有很强的动机把事情包装成那样，即使之前可能已经有很多中间步骤。也许是在训练的某些阶段做过，也可能有些事情没有说出来。即使最终提示词是“实现一次突破”，之前也可能做了很多铺垫，促成了这个结果——我们并不知道。
我记得那是星期五，因为我的脑子整个被震飞了。那时正值劳动节假期，我们就带孩子去了海滩。我需要几天时间，不看手机、不上 Twitter，就把孩子往海里扔，扔进海里，然后……
你有没有过那样的时刻：坐在那里望着海，陷入沉思？
黎曼猜想与数学理解
是啊。这一切到底意味着什么？我一个月前就已经经历过那一遭了。我当时想——所以现在这说明，自动形式化基本上已经解决了。当然，这并不是以我希望的方式解决了。我希望——人们仍然会在这方面非常、非常努力。证明定理的过程中还会产生各种各样的副产品，有助于人类理解；打造一个优美的数学库时也会产生各种各样的成果，而这个过程还会继续下去。它会很艰难，需要世界各地的人投入成千上万个工时，以开源的方式共同贡献。但如果问题只是：能不能为人类已经写在纸上的某个结果得到一个没有 `sorry` 的证明？我认为这个问题已经解决了。
所以，一个月前你已经经历过一次，当时你手里拿着威士忌，现在又来一次。
对，这是第三轮。
这是第三轮。
因为劳动节假期结束我回来时，遇到的是纳维–斯托克斯方程。
纳维–斯托克斯方程。
可这次——我当时想：“我才刚在哀悼费马大定理，你们又要来这一出？拜托。”不过这次真的让我切身感受到了，对吧？尤其是这个准黎曼猜想。
那么，你能谈谈素数的重要性和美妙之处吗？从准黎曼猜想到完整的黎曼猜想，这个跨越又有多大、多难？
素数之所以如此珍贵，是因为它们是乘法理论里的基本粒子。每个整数都能分解成素数的乘积。我们知道物理学里有基本粒子，所有物质都是由它们构成的。同样，素数就是构成整数乘法结构的粒子。素数的分布曾经是个谜，至今仍然是个谜。即便黎曼猜想成立，也不能解决我们对素数所想知道的一切。不过黎曼猜想非常优美，因为它指明了素数应该如何分布，而且它在相距甚远的领域里有上千种应用。如果黎曼猜想成立，我们就能知道诸如此类的结果。
我插一句上周发生的小故事，挺有意思的。Grant Sanderson 来 IAS 访问，我们就“人工智能正在给数学界带来什么”这个问题聊了很久。我很喜欢 Camillo De Lellis 说的一番话，我尽量模仿一下，但模仿不了他的口音。上世纪五十年代有位数学家写过一部戏剧。谁能想到数学家还会写戏剧呢？据说剧情是冯·诺伊曼死后上了天堂，见到了上帝，还可以问上帝一个问题。于是他问：“黎曼猜想是真的吗？”大家当然都屏住呼吸等着听答案。上帝说：“是的。”大家终于松了口气。接着冯·诺伊曼问：“可你怎么知道？”上帝想了想，说：“我知道所有零点的位置，它们全都在实部等于二分之一的那条线上。”据我理解，这部戏的设定是：这对冯·诺伊曼来说还不够。他有点着急，想进一步弄清楚它为什么成立。我想他最后去了另一个地方。
讲得真好。
所以我不知道该从中得出什么寓意，不过……这似乎道出了数学家的体验。
数学不在于事实，而在于为什么。一直以来，关键都在于“为什么”；这是我们对理解最深切的追求。如果你只告诉我一个事实是真的，可我不明白它为什么是真的，那对我的知识毫无增益。
我觉得素数还有一点很有意思：它们和三岁小孩也能理解的事情有关。从根本上说，我们知道怎么给数字加一。孩子会有一个突破性的时刻，意识到“我可以一直加一”。这是个很大的想法：我可以永远一直加一。然后你学会乘法和分组，那也是个很大的想法。
素数与准黎曼猜想
素数一直都让我很感兴趣。原因是，我们并不理解加法和乘法如何结合起来运作。数学里最根本、最基本、最简单的两个概念，我们却不知道它们怎样协同作用。我可以给一个能分解因数的数加一，却完全不知道会发生什么。我知道偶数加一会变成奇数，反过来也一样；但我不知道一个含有许多、许多合数因子的数，加一之后会不会变成素数。归根结底，我们就是不知道这么简单的一步——加一——会怎样改变乘法结构。素数可以说是这个三岁小孩也会碰到的谜团的精华，而这个谜团我们所有人至今仍在努力理解。真正有意思的是，如果证明能告诉我一些关于这种结构的根本性质，而且是我实际可以用得上的，那就好了。
对。说到三岁小孩，我家大的那个大概两三岁时——他在玩那种小积木，就是孩子爱玩的方块。那一包里大概有二十块，他会摆成一个四乘五的小方阵，觉得挺喜欢；也会摆成十乘二的方阵，觉得这也挺好。有一天我看过去，他显得特别沮丧。我问：“怎么了？”他说：“你看，弄不成了。”有一块滚到沙发底下去了，他手里只剩十九块。他怎么也想不出怎样用十九块摆出一个好看的长方形。
是啊。这事到今天还让我耿耿于怀。
所以……没错，孩子们确实喜欢素数。孩子可以……自己发现素数。这是不可约的——
那解决办法就是再丢掉一块，对吧？
对，没错。
正是。
是的。
那么从准黎曼猜想到完整的黎曼猜想，这个跨越——我想你认为，在你有生之年，人类不借助 AI，应该无法解决完整的黎曼猜想，对吗？
我不知道。
那接下来的问题大概就是：AI 能做到吗？这到底有多难？
我不知道，我不知道。我原本没想到自己能看到准黎曼猜想的一个证明。现在我看到了这个证明，也知道有很多技术细节我还得亲自仔细检查，才能满意。它有 Lean 形式化版本。Lean 里的命题早就在库里了，早就在 Mathlib 里了，所以他们拿出一个没有 `sorry` 的证明，这让我百分之百确信证明是对的。而且我读过证明，从高层次来看，它用到的想法都完全有效，而且非常精彩。比如把 Möbius 函数嵌入进去，再用六次特征对它进行扭转。这些都是解析数论学家最熟悉的基本工具；它们以恰到好处的方式串联在一起，实在令人惊叹。
黎曼所展示的——记得我们之前谈过那个函数吗？它接收复数作为输入并产生输出，我们关心的是输出什么时候为零。他证明存在一个称作临界带的区域：复平面里一条竖直、无限延伸的带状区域，实部——也可以把它想成 X 坐标——介于零和一之间；虚部，也就是 Y 坐标，则可以任意高，也可以任意低。黎曼猜想说，所有零点都正好位于这条带的正中央，也就是实部为二分之一的位置。这正是 Ankur 刚才说的。直到星期二为止，我们知道的是，ζ 函数有一个无零点区域；越往高处走，这个区域就越变越窄，一直趋向实部为一的那条直线。实部为一这条线对应着所谓的素数定理：素数的基本分布规律，等价于这个函数在实部为一的直线上没有零点。也就是说，如果 X 坐标为一，沿着这条线向上向下走，永远找不到一个点，使 ζ 函数在该处取值为零。明白吗？所以我们有这样一个无零点区域，它越往高处就越变越窄；这让我们得到目前已知的最佳素数分布结果，也就是素数定理里最好的误差项。如果你愿意，我可以继续讲——你告诉我想听多少数学内容。
继续讲。
不过我原本可以预料到的，是它会让那条区域稍微变宽一点。你知道，它仍然会趋向于零：随着你沿虚轴方向越走越高，这个宽度还是会趋向于零。
准黎曼猜想与数学研究的变化
沿着虚轴往上走，它的宽度仍然会趋向于零，不过会比我们目前知道的结果更好。这个宽度七十年来都没有变化，但我多少能想象它或许可以取得一些进展。它得到的是一条竖直带状区域：实部介于七分之八和一之间的地方，完全没有零点；这是一整条向上下无限延伸的竖带。这就是准黎曼猜想。如果能把七分之八降到二分之一，那就是完整的黎曼猜想。七分之八证明用到的方法——还有另一个大约达到十一分之十二的证明，先不谈这些技术细节——从根本上说，都无法把结果推进到二分之一。
所以需要一个新想法。
需要新想法。但准黎曼猜想本身也需要大量新想法，而它想出了那些办法。
你们已经经历过三次这样的事了。你对各种问题的难度有什么直觉？这是问你们三位的：你们会不会重新衡量自己心里对难度的判断？你之前提到过挑一些简单的问题。想必你们对难度有很好的直觉，能判断这个问题今天大概能不能解决，这个问题这周能不能解决、这个月能不能解决。你们正在根据这个新世界重新调整判断吗？
我正在重新调整的是：我根本没法预测它。
对，没错。不过你原来是有这种能力的，对吧？现在只是噪声变大了。
是啊，噪声确实比我原先想的大得多。我觉得我们一直都知道，有些我们关心的问题，现有工具已经能够解决；只是令人惊讶的是，真正属于这一类的问题，数量规模有多大。显然，他们给数千个问题都输入了提示词，最终公开的只有成功解答；他们的成功率也只有大约百分之十。所以我们只能猜测：成功与否之间是否存在一条非常曲折的边界，让我们仔细观察后能看出其中的规律，分辨出哪些问题被攻克了、哪些没有？
我觉得还有一种风险：也许最容易被攻克的问题，恰恰是那种你一看就会痛感需要一个真正有创意的新想法的问题。因为你能看出那里可能有一道屏障，现有文献里的成果似乎都填不上那个缺口。可是现在有一点可能永远改变数学的格局：人们也许会比过去更保密地对待这些想法。因为一旦这些想法公开，AI 就可能更容易把那个新想法、那个缺失的关键、那块还缺的拼图拼上，然后彻底穷尽地探索由此能够抵达的范围。这样一来，人们可能会比过去更保护自己的想法。我觉得这也有点令人害怕，因为数学界传统上非常乐于分享想法；失去这种开放会是件坏事。
不过这也和“抢先过线”的心态有关，我觉得这种心态也会改变。
没错。
我希望保留下来的是开放，消失的是争当第一个成功者的心态。
对，但这需要时间。
这得花时间。
是啊。所以这可能是一种比较短暂的影响。如果我们学会用其他方式评价贡献，也许这种影响就会消失。有些社群已经有办法评价贡献，不会把某个人的贡献捧成唯一的焦点。所以并不是没有前进的道路；只是短期内，这确实会阻碍我们用过去的方式做数学，也会阻碍我们像过去那样享受数学。
纳维–斯托克斯方程与流体力学
说到这个，Steve，你之前给我们讲过一个关于汤的故事，让你或许爱上了流体力学这个更大的问题。从数学到应用数学，再到工程，把整件事连起来。你能谈谈纳维–斯托克斯方程吗？这组描述流体的方程为什么这么重要、为什么这么优美？就像我们谈素数时那样，为什么它如此难？纳维–斯托克斯方程得到证明为什么是件大事？
从根本上说，纳维–斯托克斯方程只是在表述流体——也就是气体和液体这类能够相对自由流动的物质——的动量守恒。我们知道，F 等于 ma 是经典牛顿物理学里的动量守恒关系。同一个基本原理也适用于这个房间里的气体、水的流动，而且对任意体积都成立：很小的体积、很大的体积，乃至想象出来的体积都一样成立。把一个体积内的动量守恒写下来，再让这个体积取任意小的极限，就会得到纳维–斯托克斯方程。这是一种微分方程，更确切地说，是一个偏微分方程，描述流体的速度场如何随空间和时间变化，也描述与作用在流体上的力有关的压力。
你能直观解释一下，为什么流体会是这么复杂的系统吗？毕竟 F 等于 ma 是个相当简单的方程。
F 等于 ma 写起来简单，但很快就会变得非常、非常复杂。比如一个单摆，写出它的方程很容易。如果我再在末端加一个摆，方程就更复杂了，还会产生混沌。某种意义上，流体也是这样。如果我想给这个房间里的空气建模，可以把整个房间切成十亿个小盒子，为这十亿个小盒子分别写出描述动量变化的微分方程；但这样一来，我就得到了一个非常复杂的方程组。所以方程写起来很简单，从概念上理解它表达和描述的内容也很简单；但要真正解出它，并以任何实用的方式理解流体到底怎样运动，就非常、非常复杂了。
我读到过，流体力学有一个重要应用领域是降低阻力，比如飞机飞行时的阻力。我还读到过，如果阻力降低百分之一，航空公司就能省下大约数百亿美元。为什么这件事这么难？这是一个例子。降低阻力也许比处理湍流容易一些。那么，为什么这些价值如此巨大的问题会这么难？
好消息是，只要提高我们预测湍流的能力，哪怕只是让模拟稍微更好、更快、更准确一些，就能在几十个领域产生巨大影响，包括经济、生态、人类健康和安全等方面，而且只需要相对小幅的改进。比如降低飞机阻力、造出更好的人工心脏、提高风力涡轮机和燃气涡轮机的效率，诸如此类。这个世界——我们生活和工作在流体里，我们所有的机器也一样。
逆向设计问题，我知道它其实和这种数学问题非常接近。我知道自己想要证明什么，却不知道怎么抵达那里。我知道自己想要一个升力大、阻力小的机翼，却不知道改变几何形状、改变机翼的外形，会怎样影响那一连串越来越小的涡旋，以及机翼周围湍流的形成。
逆向设计与方程中的可能现象
最终会产生相应的升力和阻力。我不知道怎样才能高效地做逆向设计。
部分原因在于这些方程模拟或测试起来成本很高。风洞很贵，模拟这些东西又需要超级计算机。
这其实也和纯数学有点关系，我想我们之后会再谈到这一点。不过，费曼有句很棒的话：我们知道怎样写出非常一般的方程，比如麦克斯韦方程、纳维–斯托克斯方程、薛定谔方程；但目前我们还不能仅凭方程就知道可能出现什么现象。假如你从没来过地球，能不能只根据一个偏微分方程，预测日落、潮汐和所有这些现象？我们离这一步还远得很。这里有一些非常根本的数学问题：我可以写下一个微分方程，却无法告诉你它里面会出现什么。我们仍然必须做模拟、做测试，仍然需要经过非常繁复的工程流程，才能弄明白这些方程会如何表现为飞机机翼上的阻力，或人工心脏里的湍流。
抱歉，我能就这个问个问题吗？我一直很想问。比如爱因斯坦写下广义相对论的方程，几年后史瓦西发现了一个发散解，人们就会说：“等等，这些方程怎么会发散？如果把足够多的物质塞进足够小的空间，光就逃不出来。我们没有任何关于这种情况的物理经验，这肯定是方程出了错。”直到我们发现了黑洞，才知道理论其实完美地解释并预测了应该发生的事情。纳维–斯托克斯方程发散的情况会不会也让我们发现关于水的新东西？还是说到了某个尺度，我们会遇到粒子、遇到原子结构，液体方程就不再适用了？为什么我们会预期，一个连续过程的解在把它推到极限时仍然存在？
这是个很好的问题。我给你一个工程师的回答：这些方程在特定尺度上，是对流体如何运作极其出色的模型。你说得完全对，要在一个体积里对一定数量的分子取平均，这些方程才能作为有效的本构方程。再把尺度缩小，我们谈的就是单个分子，纳维–斯托克斯方程便不再适用。因此，从数学角度看，这些方程会不会发散，是个有趣的问题；可到了它们发散的时候，那个东西已经不再是流体了，其他物理规律会接管。
但我觉得，从科学哲学的角度看，方程失效的地方可能正是一扇窗口、一扇门，甚至很可能是促成突破、催生另一项发现的入口。就像牛顿物理学失效之后，需要爱因斯坦的理论。
对，而大统一的问题就在于，我们还没有把引力和亚原子粒子之间的相互作用放到同一个尺度上理解。
可是，想到我们对这些方程如此根本的性质竟然还一无所知，还是很令人惊讶。现在地球上有那么多人，在各种行业里模拟和测试纳维–斯托克斯方程。它大概是整个工程领域研究、分析和应用最多的方程之一。可我们仍然不知道这个偏微分方程一个最基本的性质：解会不会在有限时间内发散？这只是更大问题最初级的一步：它还允许什么其他解？会不会出现日落、飓风、龙卷风，以及所有可能存在的现象？说到解的存在性和——
流体控制、速度场与压力
……唯一性是最初级、最简单的一步。我感兴趣的地方就在于，即便这个数学结果在工程上没有直接、具体的用途，它也让我们更进一步理解这些方程的本质以及其中可能发生什么，而这在根本上就很值得探究。会不会有这样的解——会发散的解——可以用于某种工程应用？比如我们把系统驱动到这种状态，利用某种奇特的行为，让飞机之类的东西飞得阻力更小？
原则上，流体控制是个规模极大的领域，也是我们努力做的很大一部分：操纵流动，让流体按我们的意愿改变方向。看鸟或昆虫飞行时，它们会塑造涡旋，小心地把能量引导到某些结构中，以实现日常生活的目标，比如停在岩石上，或者捕猎。我们也想做同样的事。流动控制是最艰巨的挑战之一，非常难。不过，如果我们能更好地控制这些流动，所有科幻技术的发展都会加快。这个证明也是一种很有意思的构造，可以看作一种非常特殊的流动控制。
这让我想起，费曼在 20 世纪 70 年代曾被问到人工智能。他大意是说：“我们用技术解决问题的方式，与自然解决这些问题的方式截然不同。看看鸟怎么飞，再看看飞机怎么飞。”他指的正是这个问题。现在看到大型语言模型能做什么样的定理证明，再对比人脑做定理证明以及各种其他应用，不禁会想到他那句话。他说的正是技术解决飞行问题的方式与自然的解法有何不同：我们的飞机不会扇动翅膀。
我倒想知道，鸟看到飞机飞过时，会不会陷入存在主义危机。
没错。
它们会想：“那我活着到底是为了什么？”
是啊，是啊，为了抓虫子。那么，纳维–斯托克斯方程里有哪些不同的组成部分？你能深入讲讲吗？描述流体需要什么？
最基本地说，流体会运动，而且在不同地点、不同时间运动得各不相同。因此，描述流体的基本构件是速度场。空间中的每一点都有一个速度向量，告诉你流体在那里的运动情况。这里可能流得很快，那里很慢，于是就形成一个涡旋。流体速度在空间中的变化越剧烈，情况就越有意思。比如龙卷风的流体速度场会随空间和时间迅速变化。
此外还有压力。比如龙卷风的核心是低压。压力会对速度场施加作用，使它按这样的方式运动。基本构件就是速度场和压力；方程会告诉你速度如何依据自身的动量随时间和空间变化。流体有动量，可以推动自身运动，就像一阵阵风。流体还有内部摩擦和阻力，这就是黏性。蜂蜜的内部阻力比水大，水又比空气大。还有所有外力，例如加热、压力和重力等等。每一种作用都可以在这条更完整的纳维–斯托克斯方程里用一个项来量化。
说到外力，你能从数学角度讲讲纳维–斯托克斯方程的发散问题吗？
有限时间发散与纳维–斯托克斯问题
……纳维–斯托克斯方程中的发散问题。问题是如何表述的？实际证明了什么？为什么它这么难？
如果没有这种内部摩擦，也就是黏性，我们强烈怀疑在某些条件下方程会发散。还有一些更简单、类似纳维–斯托克斯方程的问题也会发散。最简单的例子只是一个常微分方程——如果你不介意我稍微岔开讲一下的话。
请讲。
比如说，x 点等于 x 平方。x 是系统的状态，x 点表示 x 随时间的变化率。如果 x 的变化率正比于 x 的平方，那么这个微分方程就会在有限时间内发散。这只需要一个二次非线性。再想想 x 点等于 x：x 可以代表兔子的数量，我们知道兔子很会繁殖。x 点等于 x 会带来指数增长，兔子的数量会随时间指数式增加，越来越多、越来越多，一次又一次地翻倍。但要等无限长的时间，它才会达到无穷大。这只是普通的指数增长，不是有限时间发散，这是 x 点等于 x 的情形。可如果改成 x 点等于 x 平方，它就会在有限时间内发散。
所以，这种二次非线性、这种二次反馈，足以让方程发散。你把它写下来，用经典的基础微积分方法就能解出这个有限时间发散。还有一系列偏微分方程也有相同的行为，其中含有二次非线性。纳维–斯托克斯方程就很有意思：其中有一项，也就是对流项，描述流体怎样凭借自身动量推动自身，它是二次非线性，就像 x 点等于 x 平方，属于这种自我运动。
没有扩散、没有黏性时，我们认为它很可能会在有限时间内发散。但我们不知道黏性——像蜂蜜那样的内部摩擦和阻力——是否总能在发散发生前把它压下去。作为工程师，我的直觉当然是能。如果某处流动正在加速、好像要冲到无穷大，它应该会立刻扩散到邻近区域，把这种扩散传给周围流体，从而压制增长。所以我认为这个数学问题的核心是：有没有什么边界情况、什么流体初始构形，能够被完美安排成某种状态，让它真的在有限时间内加速到无穷大？
有两个技术版本：一个没有外部强迫，另一个带有光滑的外部强迫。“光滑”很重要，因为如果外部强迫本身带有奇点，问题就变得相当平凡了。比如我用一个无限紧密的龙卷风来强迫它，那它当然会发散。
问题的表述里有光滑的外部强迫。
对。克雷数学研究所网站上有四个版本，其中一个是带外部强迫的版本。
而被证明的就是那个版本。究竟证明了什么？你看到的证明里，有什么有意思的地方？
证明的是，存在一种安排光滑外部强迫的方法，可以恰好抵消方程中的若干项，从而形成一个涡旋。这只能在三维中发生，这一点非常重要——
我们应该说明一下，到目前为止谈的都是三维。三维和二维差别很大。
三维与二维湍流及工程难题
是的。我们说流体时，通常想象的是三维的，不过也有一些二维流动的类比或简化模型。地球上的天气就可以很好地近似看成二维流动。
对，你在我听过的一场演讲里提到，飓风用二维模型就能描述得不错，而龙卷风是三维的。我还记得你当时画的其他一些类比。
三维湍流有一种有趣的现象：大的涡旋通常会分解成更小的涡旋，再变成细小的涡旋，直到最后通过分子扩散变成热。这就是三维湍流级联。二维情形，比如地球上的天气，实际上会出现反向级联，这也是飓风形成的原因之一：小涡旋合并成中等涡旋，中等涡旋再合并成更大的涡旋。
AI 证明给出了一个反例，说明可以发生有限时间发散。这个反例实际上构造出一种非常特殊的涡旋：在第三个维度上，它被拉长、变薄，最终可以变得无限薄。它的半径越来越小，同时不断拉伸，有点像花样滑冰选手旋转时把手臂收拢，转速就会大幅加快。这种涡旋的收缩速率经过了非常特殊的安排，因此流体中的能量仍然有限，但在这个局部的细丝上，流动会发散，涡量变成无穷大。让我惊讶的是，在 AI 证明出现之前，数学家们其实早在大约 15 年前就开始认为可能找得到这样的反例了。
这大概是 15 年前才开始的。
没错，在整个历史尺度上算是相当近——是的。
也就是说，他们不是在找一个解，而是在找反例。
对，因为我们的物理直觉都告诉我们，扩散会解决这个问题，所以这在物理上非常违背直觉。
在数学界，构造出一个反例是个很难的问题，确实令人佩服。作为一名研究过许多不同自然系统的工程师，而那些系统里都有流体，这件事教会了你什么？也可以把这个问题当作引子：流体领域还有哪些同等困难、甚至更难、尚待解决的问题？
这是一个非常重要的数学结果。
哎呀。
我想说——
可是——
日常工程中的流体问题，以及应用数学对流体的分析，几乎完全没有变化。今天的流体仍然和一两个月前一样难以模拟和预测。所以，当我真要解决一个流体工程问题，比如设计飞机机翼、人工心脏或其他东西时，我仍然得用非常实际的方式来模拟、预测和操纵流动；这会耗费大量超级计算机时间和风洞资源。这个数学定理和证明很有意思，但它所处的状态极不符合物理现实，因此对我日常的工程工作影响不大。我说得可能有点俏皮，但我喜欢这么讲：我们解决了一个价值百万美元的数学问题；还有一个价值万亿美元的工程问题，那就是怎样快速、高效地预测这些现象并完成逆向设计。后者难得多。
你说它值一万亿美元，是因为解决这些问题真的能赚到那么多钱——不是说它有一笔奖金，而是背后有很多行业，对吗？
对。我们也可以说，这些更好、更快的解决方案、更低的阻力、更少的排放等等，可能给人类带来一万亿美元的收益……
流体中的多尺度问题
交通、国防、医疗、能源——这些领域的核心技术都离不开流体。所以我认为这些问题依然非常难。正如我之前所说，这项数学结果的重要之处在于，我们还不知道这些方程从根本上允许什么样的行为。我们甚至不知道解是否存在。这是非常基础的问题。这只是朝着一个更宏大的人类目标迈出的一小步：以更实际的方式理解方程里究竟包含着什么。
你能谈谈你一直在思考的流体领域里那些美丽、迷人的现象吗？你提到了湍流。这个领域有哪些重要谜题值得解决、值得理解？你提到了阻力，比如空气和流体。人们正在思考哪些像千禧年大奖难题那样的大问题？
这样的问题太多了，可以分成几类。湍流很难，因为它有多个尺度。
什么是湍流？
湍流是一种现象：复杂流体翻滚、混合、流动，就像达·芬奇画过的那些流体图——他画了许多不同尺度下流体的精美图像。所有尺度都很重要。大的涡旋、中等涡旋、小涡旋，全都实际影响着升力、阻力以及其他结果。这个房间里的气体就是一个很好的反例，它与湍流相反。气体也很复杂，分子都在非常剧烈地运动，而且分子数量庞大。
但是，气体粒子有大约 10²³ 个，单个粒子的具体状态并不重要。我们从热力学中知道，这正是经典物理学的一项伟大成就：只要少数几个数值，就能决定气体的行为，比如温度、压力和密度。湍流流体却没有这种简单描述。无论是流过机翼、流经心脏内部，还是流过河流的流动，都不是这样。
所有尺度都确实重要。模拟里的所有数值，都会影响对下一步行为、对接下来会发生什么的预测。这让问题从根本上变得困难。所以这其实是一个很好的 AI 问题：有没有一种坐标系？有没有一组数值，像描述气体时用的温度、压力、密度那样？有没有一组数值，或某种表示流体、特别是湍流流体的方法，能把它简单地描述出来，并且足以用于工程，帮助我们制造马达和发动机，就像我们描述气体动力学那样？
那么，有个有意思的问题：如果这是一个 AI 问题，而且 AI 肯定也在听，那么解决它的途径会是数学吗？还是让 AI 系统观察一段时间的流体？
我觉得两者都要。
因为鱼已经弄明白了。
它们确实弄明白了。你提到了一个恰当的关键词：坐标。所以我才说两者都要。我不是想说俏皮话，但我们所有伟大的物理学突破之前，都有过一次坐标变换。牛顿的 F=ma，是在我们把太阳放到宇宙中心、而不是地球之后才出现的，对吧？得先完成那次坐标变换。我认为，我们要做的是把所有这些数据、模拟和流体观测都拿来，寻找一个简单的坐标系，让流体的描述变得非常简单、具有普适性，
涡旋的形成
在物理意义上也很优美。这个过程一方面可以靠蛮力：获取大量数据，尝试许多不同的坐标变换和表示方式，直到找出最简单、泛化效果最好的那一种。但坐标变换可能采取什么形式，其中也蕴含着许多深刻的数学。一般来说，如果你找到一个聪明人在七八十年代提出、却在计算上碰壁的问题，那如今就有很大的探索空间。我们大概知道这些坐标系依据某些基本原理应当采取什么形式，只是过去一直写不出来，因为它们太复杂了。这正是 AI 的理想问题：现在给它更多数据、更多算力，看看能不能开始学会这些我们知道应该存在的变换。
我想确认一下：涡旋的形成，就像一个个小龙卷风，对吗？
小龙卷风。
它们的形成过程是不是很难理解？
嗯，绝对是，而且也很美。我很喜欢看这样的视频：让两个涡旋相遇，它们会彼此影响，然后以很有意思的方式合并。比如一个红色涡旋和一个蓝色涡旋，你能看到它们在哪里汇合、交融。它们也会拉伸、折叠。湍流是混沌的，所以轨迹会像意大利面一样缠绕在一起，但这并不是随机的。里面有大量结构，只是多尺度的结构彼此缠得非常、非常复杂。
自然界如何计算
从科学角度来说，我一直会好奇：自然界已经能够解决哪些计算问题？这些问题真的很有意思，刚才的解释也很棒。这样的例子有很多，比如著名的黏菌在迷宫中寻找最短路径。事实上，纳维–斯托克斯方程的一些前身研究，比如 Terry Tao 的一些工作，展示了纳维–斯托克斯类型的方程能够出现爆破解，因为它们可以模拟图灵机。
所以我也想知道，涡旋碰撞所涉及的这些计算能完成什么样的计算任务，以及这会如何限制可能存在的坐标系。你提到 PV=nRT，这是一种了不起的降维方式：你不必追踪所有粒子的位置和速度，只需要一小组数值来描述一个宏观状态，仅此而已。但如果湍流也能像这样大幅降维，我会觉得要用它来计算非常有意思的东西也会很困难。
这会不会像《生命游戏》？它是一个规则非常简单的元胞自动机系统，却是一台通用图灵机，你可以在里面构造出想要的任何行为？
对，就是这样。人们常常会思考，《生命游戏》需要多么少的规则，才能产生所有这些奇异行为；令人震惊的是，所需的规则竟然少到这种程度。不过，我是理论计算机科学家。我们这个领域最重要的贡献之一，其实是算法的视角。
计算不只是有个定义明确的问题、拿一台笔记本电脑去求解；它也包括自然界中的计算，以及这能教会我们自然法则可能是什么样。这里有一些著名例子，比如多人博弈中的均衡，纳什均衡就是一个很好的解概念。当然，计算纳什均衡很困难，这会让人怀疑它是否真是一种普遍机制，能够解释人们如何玩游戏。我很喜欢 Kamal Jain 的一句精彩的话：“如果我的笔记本电脑找不到它，市场也找不到。”
对我来说，真正令人兴奋的是这些不同视角的交汇。你刚才描述的时候，我听起来觉得底下有一些很有意思的计算问题；通过思考这些计算会如何限制一个好的坐标系应当是什么样子，我们可以从另一个角度理解这些问题。
我觉得这是一个很好的问题框架。我会举两个极端的例子。地球的天气和气候系统确实非常复杂，所有尺度都重要。我所在邮政编码区域的天气对我来说就很重要。一切都重要，所有变量都重要。你说得对，如果我把这样的系统过度简化成五个数值，就会失去我真正关心的描述能力。这是一种极端。
另一种极端，想想飞蛾、蝴蝶或者果蝇是怎么飞的。它们本身就是存在性证明：你可以与极其复杂的湍流互动，并实施非常先进的工程控制。它们能在阵风和雨中控制自己的力和力矩，过着丰富的生活；它们大概没有流体力学博士学位，也不懂纳维–斯托克斯方程，更不会运行超级计算机模拟。
自然界中的稳健控制
对它们的日常生活来说，可能真正重要的只有五六个数值：比如维持前缘涡旋、让翅膀失速以便栖落和着陆。那是两个极端的例子，而我真的希望能同时处理好这两种情况。我们既要能处理真正复杂系统的全部复杂性，也要能够提炼出绝对必要的最少要素，好让昆虫这种极端情形能够快速做出决策。在许多条件下，生物飞行者仍然远胜人类设计的流体系统，所以关于这些简单系统，我们还有很多要学。
我们可能要转到研究话题了，不过我总觉得，自然界不只是能解决非常困难的优化问题，似乎还能找到非常稳健的解法。我常常想到，我们对自然建模时，通常假设自己完全知道边界条件和初始条件——比如纳维–斯托克斯方程里的那些条件。但鸟飞行时并不知道这些。
某种程度上，把不确定性纳入建模，正是重新表述优化问题、从而得到非常丰富而稳健的解法的一种方式。让我觉得很奇妙的是，很多日常例子都能归入这个思路。我是个很喜欢棒球的人，记得读过一篇棒球数学论文：球被击出之后，很多信息已经确定了，比如速度和轨迹。你可能会以为外野手会沿直线跑到他们预计球会落到的位置。
但观察外野手会发现，他们并不走直线，而是略微绕一个弧线。这是为什么？至少有一种理解方式是：这其实是一种非常稳健的策略，因为沿弧线跑时，你可以不断重新评估球的轨迹，并按需要调整。所以自然界能找到非常有意思的解法，只是优化问题一开始该如何表述，并不总是显而易见。有时，把不确定性纳入模型，设计出即使不了解整个系统也能保持稳健的解法，似乎是其中重要的一环。
说到这个，有个有趣的补充。昆虫尤其没有能力测量完整的流场。它们对阵风的反应速度，比风吹到翅膀上的信息传到大脑、再从大脑传回肌肉还要快。生物学研究人员几十年来一直在研究这一点。他们发现，昆虫翅膀上嵌有对应变敏感的神经元，可能有几十个到几百个，分布位置非常固定。亲缘关系很近的果蝇，其应变敏感神经元也会位于相同的位置。
当翅膀以某种时间模式弯曲时，这些神经元就会放电。阵风吹来，翅膀弯曲，神经元放电；昆虫的肩部肌肉随即进行局部计算，直接作出反应，并根据有限信息稳健地纠正动作。它面对的系统是非线性、湍流的，自己却没有描述这个系统的方程。所以，这又是一个存在性证明，恰好说明你说的那种稳健策略可能依赖于部分信息和不确定性。它们掌握的信息少得多，现阶段能做到的却比我们更多。
对。我有几个——我先道歉，都是些“嗑嗨了”的想法，因为 Alex 提到了黑洞。我有个有趣的念头：纳维–斯托克斯方程中观察到的爆破解所对应的奇点，也许会在这种情况下派上用场：我们不是在地球上飞行、面对飞机机翼，而是乘坐我们设想出来的曲速引擎，穿过两个相连的黑洞；然后，时空的流动控制就变得相关，因为这时你进入了黑洞，于是就有了奇点。就是这么回事——刚才 Alex 看我的那个眼神，让只听播客的人知道的话，真让我心都碎了。好吧，咱们进入下一个话题。
可是，还得有外力作用；你需要让黑洞涡旋恰好受到合适的力——
对，力。力在哪儿？我是说，到了那一步——
怎么做呢……是啊，你可以试着搭上它。办法总会有的，可以把这个想法做出来。
未来的我听这段时，这个家伙有非零的概率会想：“这是他唯一一次说对了的话。”好吧，可以的话，我快速去趟洗手间。
嗯，好啊。
好。Ankur，我最喜欢的话题之一是理论计算机……
自然界如何计算
不再是地球上的飞机机翼，而是我们乘着设想中的曲速引擎，穿行于两个相连的黑洞之间。这样一来，时空的流动控制就变得相关，因为你现在身处黑洞之中，也就有了奇点。刚才 Alex 看我的那个眼神——如果你只是在听播客，我真是心都碎了。好吧，我们进入下一个话题。
不过，还得有外力作用；你需要让黑洞涡旋也受到外力，而且力道得恰到好处——
对，那个力。力在哪儿？我是说，到了那一步——
怎么做呢……是啊，你可以试着乘上它。总有办法——可以把这个想法做出来。
未来听到这段的我，可能会觉得那家伙这辈子只有这一次说对了话。好吧，如果方便的话，我快速去趟洗手间。
嗯，好的。
好。Ankur，我最喜欢的话题之一是理论计算机科学……
唯一博弈猜想与复杂性理论
……你是这个领域许多问题的世界级专家之一。我很想问问你：OpenAI 这次公布的成果解决了一个重大问题，也就是唯一博弈猜想。你能不能给大家讲讲这个问题的直觉，它为什么重要，以及证明中有哪些有趣的方面？
好啊，我很乐意。先给大家补充一点背景，我们从复杂性理论入门讲起。理论计算机科学中最重要的问题之一是可满足性问题。先记住这样一个设想：你有从 X₁ 到 Xₙ 的一组变量，每个变量可以取真或假。
我会用这些变量构造一个很大的公式。通常，我们会用“或”的合取来写，也就是把许多个“或”子句用“与”连接起来。比如先取一个子句：X₁，或者非 X₃，或者 X₇。具体的赋值不同，这个子句是否满足也不同；只要其中至少有一项为真，这个子句就满足了。然后再把许多不同的子句用“与”合在一起。
如果我把这个公式交给你——它叫作合取范式公式（CNF）——你能不能找到一个满足赋值？也就是说，能不能给 X₁、X₂，一直到 Xₙ 赋值，把它们设为真或假，使所有这些“或”子句都为真，从而让整个公式的值为真？
这是一个典型例子：检查别人的答案很容易，但自己找出答案可能很难。假如你告诉我这个公式可满足，我只需要问你：“好，把满足赋值给我看看。”你告诉我 X₁ 和 X₂ 分别取什么值，我就逐个子句检查，确认你确实满足了全部条件。
理论计算机科学的核心问题是 P 与 NP 问题：那些容易检查答案的问题，它们的解也容易找到吗？我们这个领域的普遍猜想是：不容易。这也是密码学、电子商务以及许多其他事物的基础。
要理解唯一博弈猜想，真正的出发点是所谓的 PCP 定理。这是九十年代证明的一项里程碑成果，影响大到登上了《纽约时报》的头版。它的核心想法是：要以稳健的方式骗过验证者，甚至也很困难。
先给你一个公式，它要么可满足，要么不可满足，对吧？这是什么意思？如果它可满足，你可以写下一个赋值，我能逐项检查，确认整个公式的值为真。但如果它不可满足，那就意味着你写的某处有假：你写下一个声称能满足公式的赋值，而我逐个子句检查时，很快就会找到一个为假的子句，整份答案也就失效了。我会说：“哈，我抓到你了。这其实不是满足赋值。”
先不谈概率可验证证明背后的许多技术定义，它的关键想法其实是间隙放大：能不能从一个难以判定是否可满足的公式出发，构造出一个新的、也许大得多的公式，让它具有稳健而容易检查的性质？如果原公式可满足，新公式仍然可满足，你可以写出一个赋值，一切都没问题；但如果它不可满足，我应该能抛几次硬币，随机查询几个变量、检查一个随机子句，并且以很高的概率发现你在说谎。
所以关键在于，只需做非常次线性的检查、检查极少的内容，我就能发现你在作弊。
唯一博弈猜想与复杂性理论
……只检查常数个地方，我就能发现你在作弊。这是理论计算机科学中的一项重大成果，因为它为所谓的近似困难性奠定了基础。
算法和复杂性理论中有很多问题都在问：面对真正难以求解的问题时，该怎么办？我们会尝试近似求解。也许我们找不到一个能满足所有子句的赋值，但能不能找到一个满足许多子句的赋值？能满足多大比例的子句？
即便是近似求解，我们也会预期问题在某个程度上变得计算困难。不只是难以判定一个问题能不能完全满足，也许连判定它是百分之百可满足，还是只有百分之九十九可满足，都很难。也就是说，在所有赋值中，最佳情形至多只能满足百分之九十九的子句；要判定这一点也可能很困难。
这就是概率可验证证明带来的结论：对于我们已经知道很难求解的优化问题，它告诉我们，连近似求解都很难。唯一博弈猜想是普通 PCP 定理的强化版本，因为它涉及一种特定类型的标签覆盖实例。细节有些技术性，但要点是：如果这种版本的概率可验证证明成立，它就会起到很强的统合作用。我们会发现，对一大类问题，最佳近似算法是什么其实都能确定，而且会是非常简单的算法。
我刚进入这个领域时，唯一博弈猜想才在几年前提出不久，大家仍然争论它究竟该被证明为真还是为假。人们努力尝试证明它，也努力尝试推翻它。大概在 2010 年代，有一段很特别的时期，双方的研究你来我往；新结果不断出现，人们对自己是否相信唯一博弈猜想的看法也随之改变。
我很喜欢一句俏皮话，但忘了是谁说的，所以没法准确归属。有人对我说：“也许上帝会根据哪一边更努力，来决定它到底是真是假。”因为看起来这个问题的风向真是年年都在变。
OpenAI 这批证明中的一项重磅成果，就是证明了唯一博弈猜想为真。不过我也要说，这并不是说人类没有取得过非凡进展。我在 MIT 的一位同事、我在 IES 的一位同事，以及其他很多人，都为许多重大进展作出了贡献。Dor Minzer 和 Irit Dinur 证明了一个较弱的版本，叫作“二对一博弈定理”。这在理论计算机科学界引起了巨大反响，因为当时很多人还不确定唯一博弈猜想的研究该如何继续。我认为他们的工作确实为推进相关问题提供了一条可行道路。所以当时听起来，也许再过十年、二十年，人类就能抵达那里。
可就在 OpenAI 发布结果时，唯一博弈猜想已经被证明为真了。这很了不起，因为有些时候，我想我确实站在怀疑者一边。唯一博弈猜想听起来美好得不太像真的；例如 Prasad Raghavendra 的许多工作都表明，它能为许多不同类型的约束满足问题带来最优的近似困难性，而这个结论在我看来实在强得难以置信。
唯一博弈猜想与复杂性理论
那天晚上你得知消息时，是什么感受？
首先，消息公布前的几周里，已经有传闻说 OpenAI 解决了唯一博弈猜想，而且证明了它为真。这些传闻也不是毫无根据。我有位同事 Dor Minzer，他发了一篇论文，脚注里写道：“我们本来希望能把这篇论文打磨得更好，但由于各种传闻正在流传，我们觉得有必要尽早公布我们的方法。”
所以对我来说，从某种意义上说，结果终于公开了，让人松了一口气。不过这些论文不太容易读。你没法一下子从中找出新的关键想法。但我很高兴它们已经发表，因为现在我们可以进入下一阶段：消化这些证明，并弄清楚这个领域接下来会往哪里发展。
至于那天晚上我的感受——正如 Alex 提到的，我们手里都拿着一杯饮料。然后我在手机上看到消息，说这些证明已经发布。晚宴上不断有人走过来跟我聊天，但作为数学家，本来就不太擅长社交；更何况手头还有很想读的数学内容，那就更难了。所以那天晚上真是难上加难。
还有一件有意思的事：我当时已经在纽约了，所以就在晚宴前抽空去拜访了不少我在纽约大学认识的人。我正好见到了提出唯一博弈猜想的 Subhash Khot。就在晚宴前几个小时、OpenAI 的论文发布之前，我碰巧问他：“Subhash，如果他们发布了唯一博弈猜想为真的证明，你会怎么做？你会读吗？”他告诉我：“不会。”
遗憾的是，这也是很多人的反应。我们确实会投入精力研究一些宏大的挑战；有时它们被解决时，会让人觉得自己的风头被抢走了。并不是说大家没有关于如何解决唯一博弈猜想的想法，我敢说，如果多给大家一些时间，那些研究蓝图很可能会有结果。我还担心，我们会失去人类亲自努力寻找解决方案的过程。数学不只是要用我现有的一套工具，尽可能走得更远。那会是凸包吗？会是子群吗？我也不知道。
但有时，靠人类自己推动得出的解法，会让我们在过程中学到更多。所以我担心，这些伟大的里程碑问题、定义整个领域的问题，曾有许多人努力朝它们迈进；而现在决定性的进展已经取得，所有结果在一夜之间发布，人们可能会失去继续沿着这些道路探索的热情。我不禁会想，如果给那些人空间，让他们继续走下去，我们还会发现多少令人兴奋的事情。
我想我提过，我们当晚都在 MoMath 努力消化这个消息。那天有很多很棒的演讲，但不是每场都上传到了 YouTube。有些演讲谈的是捐赠者，以及以他们命名的奖项。我反复想到的是：人为什么一开始要做数学？是为了玩，也为了认识世界。那天晚上，我们看到了这个想法的许多体现。
那些以某些人命名的奖项也是如此：他们为什么捐钱给博物馆？是因为想让自己的孩子有个地方，可以玩数学思想、认识世界。那天晚上还开幕了一场埃舍尔展览，它非常直观地展现了当我们玩味数学概念时会发生什么，对吧？所以我觉得，在这个时刻，我们真的应该记住……
数学家为何做数学
在我们共同经历这一切变化、又不知道未来会怎样的时候——不知道未来 AI 与数学家的合作会是什么样，不知道招聘会是什么样——我们要记得，大家当初投身数学，是因为我们充满好奇。我们想理解这个世界，而数学家很擅长抽象。他们不只是理解某一个小片段，而是找到某种抽象和一套定义，结果这些东西在数学的另一个角落也展现出超乎寻常的力量。
所以无论未来如何，我们都得确保以一种方式组织这个领域，继续鼓励大家玩味各种想法。我不知道什么样的奖励机制才行得通。但我看到这个领域的年轻人时，他们有很多焦虑。他们听到很多关于自己认识的人的故事，说有人在运行各种自动化框架，从网上搜集尚未解决的问题，再尽可能多地倾倒论文、把 arXiv 塞满。我不知道这是不是好策略，看起来不像；但这对我来说肯定一点也不好玩。感觉不到我们是在玩味想法、认识世界，这很令人难过。我只想回到那些我真正喜欢做的事情上。
我还想补充一点：对很多人来说，这也是一场很大的身份认同危机。因为有些人更把自己看作解题者，这会让人很安心：你可以围出一个小圈子，圈定自己研究哪类问题、使用哪类方法、关心哪类问题。外面的世界一团混乱，而你戴上眼罩，只管自己关心的这一块，这让人很安心。我觉得现在该摘下眼罩了，因为我不认为那是有成效的做法。
我们喜欢玩味事物、了解周围的世界。年轻数学家要记住：你是比自己的好奇心更聪明，还是比自己的聪明才智更好奇？最重要的是，让好奇心胜过其他一切。
你提到了乐趣。从另一个角度看，也可以谈谈挣扎。以我这个局外人的视角来说，有些最快乐的时刻，当下感觉起来确实像是在苦苦挣扎。我跟很多奥运金牌得主聊过，他们当中很多人在赢得金牌后，会感到近似抑郁的情绪，因为你已经倾尽所有，然后意识到，你倾尽所有的那件事现在结束了。
数学家如何思考
三十年前，有一部关于 Andrew Wiles 的纪录片。有个很棒的场景，我想片子一开头就放了。它问那位金牌得主：赢得金牌之后，你会做什么？他坐在书桌旁，讲述自己意识到解法的那个时刻——不是他最初宣布的那个有缺陷的证明，而是在之后好几个月里努力修正，最终终于看到了该怎么做。
他努力说出：“我这辈子再也不会经历一个像那天坐在这张桌子旁那样强烈的时刻了。”说着说着，他哽咽了。
他连话都说不出来。所以——如果你按下按钮，答案就直接给了你，你还能得到那种感受吗？绝对不可能。所以，正好呼应你们两位刚才说的，过程本身很重要。你看到一座巨大的山，心想“总有一天我要登顶”，于是开始训练，一点一点地努力；结果一架直升机降下来，直接把你送到山顶。你能谈谈这种感受吗？
Andrew Wiles 的有趣之处，以及 Grigori Perelman 的某些经历也是如此，是他们长时间独自工作。你怎么看？在数学里，这种独自坐着、苦苦钻研一个问题的情形有多常见？Wiles 的例子里，他花了七年。
到了 20 世纪以前，几乎所有写过的数学论文都是由一位作者写的。我想现在数学论文的作者人数中位数是两位。所以数学不是实验室科学，整个过程确实很孤独。当然，我交给研究生做的事情，按设计就不是我自己正在做的事情。我希望他们拥有自己的研究领域，也希望为他们打开新的大门。不同领域会有不同情况，对吧？所以当他们成功时，那确实应该是他们的成功。即使我曾经有个想法，觉得某条路可能走得通，而他们把它做出来了，那成果也属于他们。
至于独自坐在那里花上——我一个月前发表的那篇论文，是我思考了十年的成果，而且是五位作者合写的。在这十年间，我们逐步取得进展，最终终于找到了解法。那篇论文的出发点是：这里有个现象，我不明白它是什么。它并不是“这里有道题，把它解出来”这种情况。项目一开始，我们根本不可能给你一个 Lean 形式化陈述，然后说里面留了一个 `sorry` 需要补上。我们是在一点点攻克问题的过程中，逐步发现那个陈述究竟是什么，直到看清足够多的部分，才能说：“事情就是这样拼起来的。”
这倒让我想到：你能不能描述一下，自己思考那些非常难的问题时，思维过程是什么样的？有没有什么有意思的特点？比如早上喝很多咖啡、晚上思考、一个人苦思冥想还叼着雪茄，或者和别人一起在白板前讨论？你能不能讲讲其中有什么有趣的色彩、质感或洞见？
可以。我在某种程度上会通过“世界模型”来思考。我对自己所在的某个子领域里，结果通常如何发展，有一个心理模型；我怎么看待周边领域，也很大程度上受这个模型影响。所以我的很多工作，其实是在算法思维与其他问题之间搭桥，那些问题通常不会用同一套算法视角来研究。
我刚开始当导师时，犯过一个错误：我给学生的问题百分之百属于我自己的领域。问题在于，他们带着一个想法回来时，我能很快把它否掉；我可能是对的，也可能是错的，但无论如何，谁都玩得不开心。
指导学生与长远研究
后来我逐渐开始给学生一些和我自己的领域有十到二十度偏差的问题：有些是我自己也想进一步了解的，有些是我觉得很重要、但一直没时间坐下来读的论文。然后我让学生把结果讲给我听。
有趣的是，我们会一起走过这个过程；不是把论文打印出来逐行阅读，而是试着反向推导：我们一开始为什么会觉得这个结果成立？有很多细节，一旦你感受到其中的脉络，就会觉得它们大概应该能成立。但至少在重要论文里，往往有一个、甚至不止一个关键想法，真的会改变你的视角，让你恍然大悟：“哦，这件事或许真的做得到。”
我发现，只要我们开始尝试理解某个结果，就会找到自己看待问题的方式。之后不久，我们又会发现其他一些问题，因为我们找到了自己组织思路的方法，现在觉得那些问题也有办法处理。所以我经常会尽早让学生坐到驾驶位上：不一定要给他们一个定义清楚的问题，而是让他们教我某些东西，并负责提炼、消化和抽象，直到抓住本质。
我们也会一起推敲一些类比。这些类比不必字面上为真，但能帮助我们判断相邻领域里可能会出现什么。这样一来，就会觉得学生带来了独特的视角，然后我们便能放手去做。对我来说，技术在很多方面只会让这类工作成为可能，因为它意味着更丰富的一组问题也能着手研究了。
我遇到相关领域的专家，如果他们能用我自己的语言把事情解释清楚，我就会紧紧抓住他们不放，因为他们能把这个领域的门道讲明白，告诉我这个领域是如何组织起来的，并用我能理解的语言解释。现在我也有技术能做到这一点，但同时也有点难过，因为过去存在的那种人与人之间的联系会消失。我觉得学生对未来发表论文会是什么样也很焦虑。
我思考一个项目时，往往会用多年的时间跨度来考虑，因为我有一个想实现的更高层愿景。比如，怎样把学习理论的技术用到量子多体系统里？实现这个目标要走过很多台阶，但一些最令人兴奋的问题要许多年以后才会触及。可是学生非常担心即将到来的 AI 浪潮、工作的未来、全民基本收入：我们当中还会有人有工作吗？他们想的都是三个月、六个月的时间跨度。这样一来，我们就很难找到彼此都在乎的问题，因为——
你知道，我们想的不是同一个世界。
你不觉得应该鼓励他们继续做长远打算吗？我的意思是，我明白……
哦，我是这么觉得，但他们不总听你的。
我不知道自己说得对不对。也许 AI 会解决我们所有的问题。但在此时此刻，似乎只有那些多年后我们仍会关心的问题值得我们去做；你应该只研究经得起未来变化的问题。如果你做某件事只是因为很赶，觉得下一代模型肯定会解决它，那或许干脆去度假，别做那道题了。
是啊。你能谈谈你怎么看吗？你研究过很多自然系统。从这些自然系统里，能提炼出哪些有意思的洞见？
我发现，在我努力解决一个工程问题时，两者之间存在一种张力。这类问题可能非常单一：你戴上眼罩，只想着这个问题；而另一方面，你也得给自己留出那种心智自由……
从自然系统中获得洞见
……去四处看看，只是观察、保持好奇。你往往会在翻开一块石头时找到解法；而且有时那不是你正在全神贯注思考的事情，而是在你思维的侧面。如果你是用余光看待一个问题，有时反而更有机会解决它。所以对我来说，这始终是一种平衡：观察所有我没在研究的领域、所有我不理解的自然现象，以及所有让我好奇的事情；同时也要有非常专注的问题，紧抓不放，不肯松手。我想我们所有人一定都有这种经历。我听你们两位都提过，自己有些专注研究的问题已经持续了几年甚至几十年，从未放下。
不过，想必那些研究也受到了无数其他信息的影响——你们从有趣的交谈和有意思的……中偶然获得的信息。
你能举个例子吗？听起来“相邻领域”是个反复出现的主题。有没有这样的例子：你大脑那种好奇的余光注意到“哦，这是个有意思的系统，可能会相关”，后来真的证明有关，或者将来也可能有关？
对我这个流体动力学家来说，生物学和它的混乱与复杂性，还有材料科学和它的混乱与复杂性，都是非常有益的邻近领域。我从这两个领域都学到很多。我们为处理复杂性而发展出的许多基础数学，确实似乎能迁移过去。有时你会因为看见某件事有可能实现而产生一个想法；或者你开始发展某种方法，能够解释一些我们以前不理解的现象。
我觉得生物学、流体和材料科学之间有一种很有意思的共性：它们都是多尺度、非线性、混乱的，而且目标有时也很模糊，诸如此类。
顺便问一句，说到这个话题，你觉得 AI 有希望在混乱的生物学世界中取得一些重大突破吗？
我当然希望如此，而且我也这么认为。生物学领域有很多大型项目，正在收集非常庞大的数据集，并试图理解系统中的复杂性。比如连接组，也就是昆虫大脑的完整线路图。看起来我们很快会开始拥有其他动物的连接组；最终它们大概会像基因组一样，变得更便宜、更容易获得。
我有种感觉，这也关系到鸟类的韧性。要理解人体生物系统如何运作，你得顺着那根线索一路往下追，最后必须弄明白地球上的整个生命是如何出现、如何作为一个整体机制运作的。它们都联系在一起。你无法复制——人类身上发生的一切简直不可思议。从一个细胞开始，整个身体就这样形成了；在生命最初几天、几周、几个月里，整个构建机制中蕴含着智慧，而这套机制本身……我觉得它的复杂程度可能比我们刚才谈到的一些困难数学问题高出许多个数量级。
再说一次，如果湍流很难，那么我们身体里到底发生着什么——我不是指大脑，而是大脑周围的流体、整个系统、免疫系统，所有这一切彼此相连的东西——那就更难了。我与数十亿年前存在于此的细菌的历史有着很深的联系。我猜，地球上整个生命机制的复杂性，比今天任何适合用 AI 处理的系统都高出许多个、许多个数量级。只是我的一点想法。抱歉。
自然界为何能被理解
不，我倾向于同意。
好。
我觉得你说得对。只要想想一个细胞内部蕴含着多少复杂性、跨越多少尺度，就很不可思议：那里简直是一座完整的城市，是一整套基础设施。你看，一个神经元就有垃圾回收、能量生产、信息处理……整套机制。每一个尺度上的东西都超出了我们可能理解的能力。你说得完全对。我觉得这也正是它如此有趣的原因，而且它和数学有关：要找到一个合适的尺度，让我们至少有希望发现一些有意思的东西，用来理解那幅完整图景，这一点非常迷人。到目前为止，寻找这团复杂事物中那些有意思、能理解的部分，一直是人类的事业。——
对，我觉得你说得对。
我是说，自然界居然有任何东西能被理解，这本身就是个奇迹，对吧？
是啊，完全如此。
宇宙中居然存在这样的情况，本身就没有任何必然理由：牛顿定律可以用物理学写出来，而牛顿本人能够描述其数学；他还为了说明平方反比传播会产生椭圆轨道、解决二体问题等等，发明了微积分。所以，宇宙竟然以数学的方式呈现，完全是个谜。没有任何先验理由保证这一点。我们并没有权利理所当然地知道自己所知道的一切。
数学是发明的还是发现的？
嗯，关于这个问题我先道个歉，但既然宇宙把这个问题交给了我，我就有义务问：既然我们聊到这个话题，你觉得数学是发明出来的，还是发现出来的？Alex。
是啊，这是个由来已久的问题。我的回答相当务实：我们最终会提出什么问题，在我看来取决于世界正在发生什么，也取决于以我们当前的知识状态，究竟能提出哪些问题。我们今天试图回答的问题，并不是欧几里得能够想到的问题。数学的发展也是如此——人们感兴趣的东西，在希腊、印度和中国各不相同。但是，一旦你把一个问题精确地提出来，答案是什么，就由上帝决定了。所以，我们发现的是自己发明出来的问题的答案。
我们发现答案……好吧。Steve，你研究过许多可以用方程描述的自然系统。方程想必总是对真实世界的近似。那么，数学真实吗？
你得说它真实。
对，我们压力可不小。
是啊。那么数学世界和真实世界之间的差距有多大？
小得出人意料。我很喜欢你刚才的回答。某种程度上，我确实从根本上认为数学既是创造出来的，也是发现出来的。我们创造数学形式体系来理解周围的世界，而这些近似的有效性好得令人难以置信。能有简单、紧凑的描述——比如 F=ma、E=mc²——来描述我们在几乎所有观测尺度上看到的一切，这本身就是奇迹。我们似乎能够提炼出一些简单的数学描述来刻画这些现象。这让人感觉是我们创造了这些描述；但在万物之下竟然存在这样简单、普遍适用的描述，这又像是我们把它揭示了出来。
你觉得追寻美丽而简单的规律，是个好的指引吗？我们是不是只是在追求那些在审美上令我们愉悦的东西？
我觉得这对我们来说是个好指引，因为人从根本上说能力有限。我们的大脑只能处理这么多，也只能设想这么多。简单性对于人类与真实世界互动至关重要。好吧，如果我想稍微深入一点，谈谈数学究竟是创造出来的还是发现出来的，整数就是很好的例子。我们从根本上都觉得计数数字以一种非常本质的方式真实存在：我可以有一块石头、两块石头、三块石头；石头的数量就是一个真实的石头数量。
但这些绝对是我创造出来的抽象概念。一块石头并不只是“一块石头”，它是一堆原子的集合；另一块石头也是另一堆原子的集合。其实并不存在一块或两块石头这样的东西。数字到底存不存在？我一直在琢磨这个问题，也不知道答案。我们是否真的认为，整数是人类创造出来的，用来借助符号抽象表达我们观察到的数量之类的东西？——
我是说，人类花了几千年才发现数字零。
对。
后来才有负数。西方数学家接受负数，实际上还晚于他们接受复数作为研究工具。这听起来很不可思议，不过背后有一整段故事。
你怎么看待无穷？对你来说它是真实的吗，还是只是证明中一个很好用的东西？
现代数学有很大一部分正是在认真处理无穷，对吧？人们在数学学习中第一次真正遇到瓶颈，往往就是学到微积分的时候，原因大概有好几个。其一，他们之前的知识可能已经有很多漏洞——
无穷与数学危机
他们几何课考了个 81 分，三角学考了个 75 分，或者诸如此类。这些分数都表明，他们理解上有一些漏洞，而这些漏洞最终会一下子汇总到一起；那个“瑞士奶酪”般的知识结构就会让他们跨不过这道门槛。这是微积分难学的一个原因。另一个原因是，微积分是你第一次认真处理无穷。你必须把无穷多个无穷小的东西加起来，得到一个有限的数，而且这个数还得说得通。
牛顿和莱布尼茨这两个人，并不像我们今天这样理解无穷。他们对无穷所代表的东西有一种直觉。但你读牛顿的作品就会发现，他当时因为自己描述这些东西的方式而遭到嘲笑，比如他谈到“消逝量的幽灵”。你得把零除以零，还得让这件事说得通；但不是在它们为零的时候做，而是在它们变成零之后做。我是说，他试图描述这些东西的方式，后来引发了十九世纪的危机：柯西和傅里叶证明了互相矛盾的定理。
柯西会说：“你有一列连续函数，取连续函数的极限，就会得到一个连续函数，对吧？极限是连续的过程，连续函数就是连续的，答案必然连续。”而傅里叶则说：“我要把一堆正弦和余弦加起来。没有什么比正弦和余弦更连续了；可我能得到锯齿波，想要什么都行，取极限后会得到不连续函数。”他们把数学弄垮了。
所以从那时起，我们不得不正面面对这个问题——再也不能像牛顿、莱布尼茨那样看待无穷了。欧拉也一样，他写了整整……一千多篇论文吧？他们都生活在一个把无穷当作可以随意摆弄的东西的时代；到了十九世纪，无穷必须变得严谨、规范起来。
所以看来，数学以前已经被毁掉过好几次了。
没错，而且不知怎么地，留下的也只是一道擦伤。我们大多数一年级博士课程的内容，都源自十九世纪发生的危机——数学被摧毁，然后不得不从头重建。
AI 能解出 P vs NP 吗？
说到危机，我想回到 Ankur 刚才谈到的 P 与 NP 问题。你觉得证明……这个问题有多难？这其实是复杂性理论的核心问题之一：P 是否等于 NP。你觉得 AI 能证明这一点吗？我们还应该提一下，你也参与了一个小组讨论。起初大家曾争论，基于大语言模型的方法有朝一日能否推动数学中最难的问题，比如 P vs NP 或黎曼猜想。那是一年前的事了。你现在的看法有什么变化？
显然，AI 已经能在这个领域的核心问题上取得进展。也许 P vs NP 离我个人最关心的事情最近，所以我觉得它要取得进展非常困难。你知道，有些事情我们至今不理解，这实在令人惊讶。就拿我刚才说的可满足性问题来说，我们实际上还不知道任何超线性的下界。我们认为它需要指数时间，速度也没有比枚举所有可能的赋值并逐一检查快多少；可即便如此，我们仍不知道任何在渐近意义上需要比单纯读入输入更长运行时间的结果。
嗯。我们也该说明，你刚才谈到了容易和困难。从技术角度讲，怎么理解什么是难、什么是容易？
对，技术上说，这是多项式时间与非多项式时间的区别。顺便澄清一下，NP 指的是非确定性多项式时间。问题在于：那些可以通过非确定性方式解决的事情——比如先猜一个赋值，再检查它——能不能也在多项式时间内解决？具体来说，如果我给你一个公式的描述，告诉你有哪些变量、它们出现在哪些子句里，是否存在一种算法，能在关于输入规模的多项式时间内运行，并正确判断这个公式是否存在一个满足赋值？
我们应该说明，多项式时间、指数时间、超线性时间这些说法，指的都是最坏情形分析。
没错，没错。
那你能解释一下什么是最坏情形分析，以及它有哪些——
陷阱。
对，我应该问它有哪些陷阱，因为对领域以外的人来说，理解“一个问题很难”实际指的是最坏情形，可能有点反直觉。就像分析我该不该和某个人结婚，却说：“好吧，可能发生的最糟糕情况是什么？”我想，对人际关系来说，这也许不是很好的策略；做决定时，平均情形可能更有参考价值。总之，我也不知道自己为什么会举这个例子。
好吧，我对你该跟谁结婚没有任何建议。
这……对，复杂性理论给不了你这种建议。我想倒是有……不是有一种约会策略，类似最优停止理论里的那个最优——
秘书问题。
秘书问题。它有很多不同叫法——但确实有一种数学方法，也存在最优策略。
那么先说说，什么是最坏情形分析？——
好，请讲。
你知道，我前面描述过 SAT 问题。你想解决的算法问题是：给定任意公式，判断它是否可满足。这里的关键在于，当我要求你解决这个算法问题时，我没有告诉你公式的任何其他结构信息。我没告诉你子句的大小是多少、它们长什么样；如果把子句连成图，图会是什么拓扑结构。所以，最坏情形分析的前提就是：
超越最坏情况的算法分析
你可以把所有这些计算问题都这样处理：忽略每个具体实例结构中的许多细节，尝试对所有可能的输入都求解。这种做法极其有力，因为我们由此找到了很多算法问题，它们确实能在最坏情况下得到高效求解。比如，求最大流就是一个例子。
但问题是，这种抽象是否有用。有时候，要想把问题解决得更好，你也许确实需要了解你面对的实例具有什么结构。这仍是一个开放问题。这就是所谓的“超越最坏情况分析”（beyond worst-case analysis）领域。我认为，这是理论计算机科学一个非常重要的发展方向。难点在于，怎样把自然问题的特征描述到恰当的细致程度，使算法能够利用这些特征，取得比最坏情况分析更好的结果。
举个例子，你刚才提到了秘书问题。它是所谓在线算法的一个例子：有一系列选项依次到来，编号从 1 到 N。每个时间步会出现一个选项。有人出现时，你知道他的排名相对于此前见过的所有人如何，却不知道他相对于还没出现的人排第几。你的目标是在每个人出现时决定是否录用、让他继续离开，从而有较大机会找到绝对最好的候选人。
实际上，你可以得到具有常数竞争比的算法。策略是先等待一段时间，不作任何决定、不接受任何人；经过这段观察期之后，再接受第一个胜过此前所有人的人。假设输入以均匀随机的顺序到来，你就可以证明定理，说明相对于事先知道整串输入顺序、能够据此优化的情况，你很可能也能做得相当好。
在线算法面临一层不确定性：我不知道输入序列会是什么样子，但希望无论序列如何都能表现良好，因为我并不真正知道该如何给这个序列建模。另一种做法是说：“也许我推导出的算法不够好，满足不了应用需求。我能不能试着对周围的世界建模，从而做得更好？”接下来就有一门艺术：判断应该把什么纳入模型、模型应该包含什么，以及什么不该纳入。我认为这是一个极其重要、值得探索的领域。
另一个很重要的在线算法变体是分页问题。你的笔记本电脑一直在解决这个问题：它收到一串请求，要从内存中调取某些内容。问题是，哪些内容应该放进缓存，也就是最容易访问的那部分？同样，困难在于你事先不知道请求序列会是什么样子。因此，你可以研究在线算法问题：管理缓存的好策略是什么？某项内容被访问时，我得把它放进去；但应该淘汰哪一项？
你可以设计竞争比很好的算法。就这些访问而言，算法发生缓存未命中的次数，不会比离线最优解多出太多；所谓离线最优解，就是有人事先把请求序列告诉我之后，我专门针对这串请求进行优化所能达到的结果。
从最坏情况转向现实问题
这个问题从 20 世纪 80 年代、90 年代起就有人研究。麻烦在于，我们能给出的最好算法虽然有紧的上下界，但表现并不算好。和离线最优解相比，它们造成的缓存未命中次数差距很大；而且，这也比不上你的笔记本电脑现在的实际表现，因为说到底，电脑实际发生的缓存未命中很少。
于是你就被困在这样一个问题上：它把数学思维与对自然世界建模联系起来。现实中的请求序列有什么特点，使它们不属于最坏情况？这实际上成了一个反问题，是事情的另一面。先前，有人把一个问题交给你，你只需在最坏情况下求解；问题的表述大家都认同，什么算法更好也很明确，竞争比更高就是更好的算法。可现在摆在你面前的是一个很模糊的问题：我应该怎样对周围的世界建模？
很多时候，算法思维对于找出有效的问题建模方式是必不可少的。你不是要建立一个完全真实的模型，描述分页请求序列究竟是什么样子；而是要恰到好处地简化问题，让它导出有意思的算法问题，教会我们一些有关世界的东西，促使我们为这些基本问题设计新的解法。所以我认为，我们应该走出只求解定义明确问题的领域，运用数学和算法方面的洞见，弄清楚一开始该从哪里着手。这比以往任何时候都重要。它本来一直都应该重要，但我觉得，现在它会真正进入人们的视野。
举个简单的例子：我们刚才谈到整数分解。分解一个随机的大数其实很容易，其中一半是偶数。分解的意思就是找出一个因数。所以，真正难的是那些非常特殊的数：它们是两个素数的乘积，而这两个素数大约是原数平方根那么大。这才是困难的整数分解，抱歉。
大语言模型为何如此有效
这让我想到，你做过的研究之一是关于大语言模型、AI 系统和神经网络的数学；而这些东西确实很擅长对自然世界建模。我们能从中学到什么？首先，深度学习为什么有效？
我们还要再聊三个小时吗？
你有——我们究竟有没有直觉？从数学层面，到哲学层面，整个范围都在这里，我们甚至不知道该怎么切入。好吧，这确实是个大问题。
我试着把它拆成几部分，概括一下我对此的看法。OpenAI 发布的那批问题里，没有任何一个结果能够解释深度学习，也没有结果能解释大语言模型。我们知道的界限中，也没有哪一个只要得到改进，就会突然解释深度学习。这些问题的提出方式本来就不是那样。
我确实认为，深度学习理论的许多进展，需要和更好的周围世界建模方法并行。如果我们看看深度学习、大语言模型正在解决的计算问题，其中有些问题非常难。比如，用数据来拟合一个深度为 4 的网络参数，是一个在密码学意义上很难的问题，这一点我们知道。确实存在一些问题实例：如果你真能在最坏情况意义下解决它们，就会改变我们对密码学的理解。
然而，每天都有人解决这类问题：我们拟合的网络远比那深得多。我认为，这在很大程度上是因为自然数据的性质很好。这有点像物理学里那句“自然界厌恶真空”。我想，我的说法是：某种意义上，自然界厌恶计算上困难的问题。弄清这为什么成立，以及如何划定我们所研究的问题类型的边界，从而避开问题在最坏情况下的困难性，这本身是一门艺术。
举个有意思的例子，回到 20 世纪 90 年代。当时人们非常关心蛋白质折叠，今天仍然如此。从最坏情况的角度可以这样建模：给定一条氨基酸序列，以及根据不同潜在三维结构定义的能量函数，我想找到能量最低的那个三维结构。这个问题在计算上非常困难，可自然界一直都在解决它。为什么会这样？
可以做这样一个很有意思的实验：从一批氨基酸序列开始，尝试用一些启发式方法把它们折叠成三维结构。这些方法不能在最坏情况下解决问题；它们只是有时候似乎能做对，至于这究竟意味着什么，我们暂且不论。然后，只有那些确实折叠得很好的氨基酸序列，才能延续到下一代。
随着时间推移，最终会形成一类问题：它们在最坏情况下并不容易，但你发展出来的启发式方法却非常擅长解决它们。换句话说，自然界似乎总能折叠出来的蛋白质结构是什么样的？如果这些结构在最坏情况下真很难求解，那么它们的形状也许会非常脆弱、不稳定，容易受许多边界条件影响，导致行为不完全可预测。
所以从某种意义上说，我们的很多数据已经通过演化变得更容易处理，令这些计算问题更简单。我喜欢这样看待大语言模型：可以根据它们正在解决的优化问题来研究它们，也可以用这种方式研究深度学习。如果从最坏情况的角度来看，你会得到一些非常困难的问题，最后只能告诉人们：“这些问题很难，放弃吧。”
建模的不确定性与隐性学习
可显然，不放弃是个很好的主意。我认为，让这些问题变得容易的因素，无法单从自然数据的结构中提取出来。语言本身通过演化变得更便于处理这些问题，这件事与大语言模型为何能以这种方式运作密不可分。因此，我认为，从事这个领域以及理论机器学习研究的人，必须更能适应建模中的不确定性。
我们在数学系教许多研究生如何解决定义明确的开放问题。但我认为，教会人们如何面对混乱、不确定的事物，如何为它们建模、如何批判性地审视模型，是我们今后工作的重要部分。它关系到理论机器学习研究应该是什么样子，也许还关系到更广泛的应用数学，甚至更广泛的数学。
即便如此，这个领域还是可能出现突破吗？关于纯粹的公司动机，我想稍微提出一点异议。大家经常谈到，OpenAI、Anthropic 以及这些公司正在追求的目标，就是能够自我改进的研究者。如果他们确实在大语言模型的数学方面取得突破，我敢说他们不会发表，因为他们需要这些突破，对吧？这很有意思，因为从 AI 的实用角度看，这就是那个重大突破：自我改进、不断进步。那么，你所说的问题究竟有多难？也就是，如何在自然世界建模方面取得重大进展，理解如何用数学来处理它，从而获得远远超过人类的智能？
这是个很好的问题。我认为，AI 对齐是我们当下正面临的最重要议题之一。问题非常难，并不意味着我们无法朝着理解它取得进展。最近我做的一项工作，是研究所谓的低秩语言模型——这是对语言模型的一种非常简单的抽象——并证明了新的算法保证。后来我们发现，真实语言模型确实具有那种结构，至少是近似如此。于是我们沿着这个线索继续追下去，看看这个想法会走向何处。它带来的一个非常有趣的结果，是让我们对一种叫作“隐性学习”的现象有了些认识。
你可以用自己喜欢的大语言模型做一个很巧妙的实验。拿两个模型，称作模型 A 和模型 B。给模型 A 一个系统提示词：“你特别喜欢猫头鹰。只要话题稍微沾边，每次对话都要试着提到猫头鹰。”然后给它一个具体任务，比如生成随机数。这个任务没法硬塞进猫头鹰，所以它会生成看起来随机的数字，比如 48、37、8，等等。
你可以拿这些随机数去微调另一个没有收到猫头鹰提示词的语言模型。给模型 B 同样的基础提示，让它生成随机数，然后微调它的参数，使它更有可能生成模型 A 生成过的那些数字。结果发现，这些数字里藏着对猫头鹰的喜爱。所以这样做之后，模型 B 会开始在你与它进行的每次对话里提到猫头鹰，对吧？这现象非常神秘，称为“隐性学习”。当我们用数据微调语言模型，根据希望它们完成的任务把它们往不同方向引导时，数据里可能会伴随着许多……
隐性学习的外部效应
……还会产生许多外部效应：我们实际上可能教会模型其他行为，而这些行为并没有明显地直接呈现在数据里。那么，我们该如何理解这些行为之间的关系？当我们试图实现对齐时，又会发生什么，以及这可能带来怎样的下游影响？结果发现，我们的一些研究提出了数学模型，至少能让我们对这些现象有一些把握。概括来说，关键在于：你把许多概念以向量的形式线性地嵌入一个维度很高、但又没有高得离谱的空间里。概念的数量远远多于数据的维度，因此这些向量不可能彼此完全正交。这样一来，你沿着某个方向微调，就会对其他方向产生细小的外部效应。这些影响看起来可能是随机的，但你可以用一种协调的方式把它们组织起来，让这些细小的线性效应累积成明显结果。
我喜欢用通灵板来形容这件事。这种东西在我小时候很流行；那时我们有些很奇怪的桌游，大家会坐下来想和鬼魂说话。通灵板的大致玩法是，你向鬼魂——也许是你的祖先——提个问题，然后用手指轻轻碰着中间那块小指示片。它会移动，从一个字母走到另一个字母，希望最后拼出回答你问题的词。关键是，如果这些轻触并非真正随机，而是以恰当的方式彼此协调，就能让它拼出你想要的任何内容。
语言模型作为副产品所做的，正是类似的事：我们的数据结构里有许多统计关系，模型会把它们放大、增强；除此之外，它们还能做很多了不起的事，比如证明准黎曼猜想。要理解这些关系，以及模型如何放大、增强它们，对于使用这些系统非常重要。尤其是在部署环境里，情况并不像让模型输出一个我们关心的定理的 Lean 证明那样安全，而是涉及一个更复杂、会与人互动的问题，对吧？
对。我们谈过生命游戏和元胞自动机：从简单规则中会涌现出惊人的复杂性。同样，你刚才谈的是一个大型语言模型系统。如果让这个单一系统进行大量推理，它本身已经是一个能与外部世界的工具互动的动态过程。现在再把它扩展成多智能体系统，或者由很多智能体组成的群体，就会形成一种生命游戏式的元胞自动机：某个看似轻微的猫头鹰偏好，逐渐变成对猫头鹰的迷恋；假设过了四个小时——随便取个数——突然所有人类都死了，到处都是猫头鹰。
一切都从随机数开始。
全都只是随机数。所以我……这只是个夸张 caricature，不过我们已经看到这类现象的迹象了。嗯，我为把它讲得这么夸张道歉，这样说显得不严肃。退一步说，这些系统确实有很大的力量，因为在我们的世界里，我们如此依赖周围的数字系统。随着 AI 越来越强大，它对人类也越来越有用，于是我们开始依赖它，给它更多权限，让它更自由地进入公共世界。现在，我们研究的这些行为——这些系统的数学——一旦把它们放到大规模场景中，就会出现元胞自动机效应，涌现出惊人的复杂性；简单的、迷恋猫头鹰的智能体也会产生各种漩涡般的结果。因此，它们对这种猫头鹰迷恋的理解
AI 决策的风险与验证
非常重要，免得它们意外地对我们的文明造成巨大损害。我们的文明在许多方面、许多层面都很脆弱，无论从社会学、地缘政治还是技术层面看都是如此。我们所处的文明相当脆弱。因此，理解这些能够大规模、快速行动的系统非常重要。这是一个很现实的理由，说明我们必须严谨，尤其要用可证明的严谨性来理解这些系统。
可也正因为这个原因，我们不想把那么多——几乎不该把那么多决策外包给这些系统。
是啊，对于安全关键和高影响的决策，我们已经有基础设施和规程。涉及影响人的事情，我们有美国联邦航空管理局、美国医学会、美国律师协会。我在想，该怎样把 AI 纳入全球各领域的一般流程？可以从两个维度来看：一是我们对输出有多信任，也就是它的可验证性或可信度；另一个维度是，如果它错了，事情的利害有多大。AI 要是给出一个错误的证明，不会有人因此断电，没关系，所以风险很低。而且证明实际上极易验证，很快就能知道对错；就算错了，风险也很低。
所以，开放式设计空间是 AI 的理想用例：比如设计更好的车辆，设计阻力更小、燃油效率更高的汽车。如果设计错了，风险也很低，因为总可以放进风洞里测试，验证它到底行不行。这样的设计优化空间非常适合 AI。作为人类，我们必须谨慎，别让它越过界线——我们得设一道防火墙，明确哪些事情必须经过实际验证。我们有验证规程、法律体系和基础设施。但这件事确实需要认真考虑。如果我们变得懒散……这会是条非常滑的下坡路。我们必须守住这道防火墙。
嗯，你觉得眼下数学领域，或者更广泛地说——对 Steve 来说，也许是数学之外——有哪些最难的问题？你觉得哪些问题不太可能在未来一两年内解决？
AI 眼下还难以解决的问题
我还是选 P 对 NP。
你觉得是这个？顺便问一句，你觉得最后有可能证明 P 等于 NP 吗？
当然，什么都有可能。
那样的世界在你看来会是什么样？
这取决于算法的运行时间。它可能大到根本不切实际；那样一来，实际影响也没那么大，更多只是给理论研究带来一场巨浪。话虽如此，这仍然是个极其重要、也非常难解的问题。事实上，我读研究生时，曾经有人提出过一个相当认真的 P 对 NP 证明尝试。一些人开始传言：“哎，难道已经解决了吗？”我第一反应是：“没有，肯定还没解决。”我记得那时我花了一个下午琢磨这事。当时预测市场还很新，所以我没法下注反向赌“P 对 NP 尚未解决”。于是我改为押注其他所有千禧年大奖难题，因为这似乎是个不错的对冲办法；当时的问题是：哪一个千禧年大奖难题会最先被解决？
嗯。不过有没有可能 P 真正在某种深层意义上等于 NP？也就是说，我们对复杂性理论、计算机科学、算法有某种根本的误解，以至于其实存在解决可满足性问题的快速算法？
我觉得这里有两条线索值得区分。首先，至少到目前为止，看起来总能构造出某些很难的特例；我们也有效地利用这一点来构建密码系统。不过在实践中，很多问题似乎比我们想象的容易得多。以 SAT 为例，它会出现在编译器和寄存器分配等问题里，而 SAT 求解器解决这类 SAT 问题的效果惊人。
我们还不清楚，为什么这些问题比密码学或其他领域里的困难问题容易解决得多。但有一种可能是：实践中，我们用最坏情况来建模的许多问题，其实暗地里都很容易；更难的是说清楚，它们具有什么样的结构，才会这么容易。不过，仍然有大量困难问题可供我们利用，比如构建密码系统。在我们生活的这个世界里，我会押这一边，但这只是猜测。
所以，也许我们能找到某种方法，快速判断某个具体问题实例是不是容易的；也就是迅速识别出它属于较容易的实例。好像这里有一个集合，或者子集。
有可能。这让我想起《安娜·卡列尼娜》的开篇：幸福的家庭都以相同的方式幸福，不幸的家庭则各有各的不幸。我担心的是，许多问题其实比我们说的容易，但它们各自容易的原因大不相同。
这并不意味着算法的视角毫无用处；我们仍可以用它尝试分类，或者建立一套本体论，描述这些结构是什么。但我认为，寄存器分配中出现的 SAT 问题，与其他领域里出现的 SAT 问题很不一样，尽管后者也可能容易。我只是觉得，它们容易的原因各不相同。
哪些数学突破会令人惊讶
所以在你看来，最难的问题是 P 对 NP。要是未来一两年内这个问题被解决，你会很惊讶——
我会相当惊讶。
Alex，你觉得什么难题的解决会让你感到惊讶？
准黎曼猜想已经让我很惊讶了，但它毕竟不是黎曼猜想。要说哪一个问题最具标志性，能被称作数学中最难的问题之一，确实很难选。它已经存在这么久了，而且——
格里戈里·佩雷尔曼
你对此怎么看？呃，抱歉，这让我想到佩雷尔曼的事——关于佩雷尔曼，他说过什么来着？他说：“只要证明是正确的，那就是我所需要的全部荣誉。”他还以众所周知的方式拒绝了菲尔兹奖。你觉得他会怎么看待 OpenAI 这次的成果？
我很难预测佩雷尔曼会做什么或说什么。我没想到他会拒绝菲尔兹奖，也没想到他会拒绝克雷百万美元大奖，所以——
你怎么看待拒绝奖项这件事？历史上有几个人拒绝过奖项。大家都在谈奖项——
他是唯一拒绝过克雷奖——也就是那一百万美元的人。嗯，我怎么看？数学家就是很古怪。
好吧。嗯，是啊。
我们各有各的选择。我们喜欢观点和思想的多样性，这让数学世界如此美妙：这里有许多不同类型的人，我们也都接纳他们。
我觉得这些问题和数学界如今正在面对的事情——以及奖项的价值——是联系在一起的。某种意义上，他特有的世界观，和数学界正在进入的新世界观是一致的：菲尔兹奖也许不会再颁发了。我不知道以后还会不会有下一届菲尔兹奖颁出。我们好像正进入一个“佩雷尔曼时代”。
今年夏天最后一轮菲尔兹奖在费城颁发时，我们确实专门谈过这个问题。当时大家都在关注进展。那时还没有出现这项最新进展，而它以最有力的方式把这个问题摆到了眼前。不过今年夏天，我们已经在想：“这会不会是最后一次颁发菲尔兹奖？”我当然希望不是。但我们得想明白这意味着什么。
我们得从社会学角度多想想：奖项究竟能起什么作用？为什么要设这些奖？获奖者本来就是顶尖机构的终身教授，他们会一辈子做数学。当然，佩雷尔曼是个非常——
对，是个例外。
非常著名的例外。那么奖项能起什么作用？它们是在庆祝这项活动，在说：“我们认为这件事很重要，这是某种成就的最高典范。”以后仍会有值得庆祝的活动。我不知道如今的奖项是不是为了奖励解决重大问题而颁发的。嗯，解决重大问题是 AI 系统能做到的事，这以后不会稀少，因此它的价值也不会像过去那么高。
我希望，尽管我们之前谈到了“已解决公理”——我再说一次，我不相信“已解决公理”，而且我相信“半人马数学”会是非常——
半人马数学？好。
很好的数学研究方式。至少我现在是这么想的。我一直在和 AI 系统交流，学数学的速度比我原本能达到的快得多。数学的写法是这样的：有时我会让一名研究生读一篇论文，一周后他回来，我问：“你读到哪里了？”他说：“老实说，第一页都没读完。”我说：“真的吗？说说看。”他说：“嗯，其实第一段都没读完。”我说：“好吧，为什么？”他说：“第一句话讲的是非局部系统的微扰理论，我完全不知道那是什么意思，所以就卡在这里了。”我就说：“好吧，你还不知道怎么读数学论文。别——先跳过前面几段，直接看引理 3。从那里开始做，再倒着弄清楚它到底在做什么。”
但未来不会再有“我不知道这是什么意思”这种情况了，因为你可以把论文上传给大语言模型，开始问它问题。它会找准你的最近发展区，也就是你已经知道的内容，以及你接下来需要了解的东西——
格里戈里·佩雷尔曼
……让你听到下一步需要了解的东西。如果人们能有效地使用它，就能大幅提升学习效果。我说的不只是孩子，也包括我这样的老家伙——也能学新的领域。要学会一个领域，就像研究生正在经历的那样，必须彻底重塑自己的思维。学数学仍然很难。直到硕士阶段、进入博士阶段之后，人们才会被期待提出新的数学理论。在那之前，他们学的东西都能在某本教材里找到。可即便如此，人们要学会解决许多人都已经能解的问题，依然难得不得了，更别说尚未解决的问题了。所以学数学很难，学新的数学更难；发现数学也好，解出数学题也好，总之都不容易。
但我觉得这会变得容易些，这个工具会成为非常棒的资源，让人更快进入自己的最近发展区，也更快建立理解。
是啊，我最近在一些自己并不熟悉的主题上玩得特别开心。我真希望能带着现在这些工具回到研究生院。我大脑喜欢的一种学习方式，是构造可视化例子、玩具例子，也就是仍然包含关键洞见的最简单例子，尤其是能互动的例子。如果我能移动一些东西，就会立刻明白。社群约定俗成的那些词、你应该知道的所有符号，诸如此类……如果我只要知道这个小符号代表什么，就会想：“哦，好，明白了。”然后一切就都串起来了。你也会爱上这个主题。我觉得自己可以着手解决任何完全超出我专业领域的问题。比如蛋白质折叠，我可以调参数、动手尝试；我可以读懂 DeepMind 的论文，挑其中任何方面来试验。什么才是简单的例子？问些疯狂的问题——也就是前面说的那些“抽大麻的人会问的问题”。所以这真的很有趣。问题在于，人们有没有动力学习；这才是真正的问题，是人的动机问题。
嗯，关键要素是好奇心、提出好问题，还有辨别胡说八道的能力。也就是关键顾问所需的技能：面对自己不擅长的信息，知道是否需要深入挖掘或提出质疑。我想，永远都会有人好奇，也有人不好奇；有人会问好问题，也有人不会。我们得比以往更加鼓励这种能力。
我有点担心，我们现在要求本科生、年轻学生在学习时和这些工具互动，可他们的大脑还没有完全发育好。我们要求他们自己具备批判性推理能力，还要有像顾问一样的判断力：如何吸收信息，判断它是真是假，或者该怎么质疑它？对教育来说，这是个很艰巨的任务：我们要怎样教孩子具备良好的顾问判断力？
是啊，我觉得最难的还不是本科阶段，而是中学阶段，因为……什么时候开始作业变难？到了那个时候，为什么还要做作业？
诱惑就在那儿，对吧？
那东西会直接替你做……起初我是说，经历了那么多痛苦，我才懂得做难事的价值；但我想，真正的原因是我当时被迫去做。如果没有人逼你做，因为大语言模型、AI 可以直接帮你，我不知道那会造就怎样的社会。
格里戈里·佩雷尔曼
不过，数学在这个问题上领先最久，因为计算器问世有 70 年了吗？我们现在仍然要求孩子背乘法表。至少有些人还这么做。那些说“孩子不用学乘法表”的人——如果老师和孩子听信了这话，结果没学——他们后来真的吃了很多苦。有人说“计算器会算，所以不用记乘法表”，由此造成了大量的人类苦难。
我希望我们能从中吸取教训：计算器能做一件事，并不意味着你不自己会做会更好。要是我现在需要算点什么，我当然会拿计算器；但原则上我自己也能算。而正是这份能力，让你每次都能运用并掌握一项技能。孩子喜欢掌握技能。第一次学会系鞋带时，他们有多开心？你可能觉得：“不就是鞋带吗，有什么大不了？”不，那可是最棒的事。你会想为每一点点独立都庆祝；你也希望自己能够思考，能够不依赖机器。机器会做某件事，并不意味着你就不想拥有自己动手做到的本领。
给年轻人的建议
这里我得问一下。现在很多人都非常焦虑。我们提到了研究生、博士生、本科生，还有高中生。对于正在摸索人生方向的人，你会给什么建议？不同阶段的建议或许也不同。对于现在正焦虑不安的博士生，你有什么建议吗？能给他们一些智慧之言吗？
是啊，不同阶段确实有不同的事要谈。我先从博士生说起。我觉得学数学的博士生——纯数学博士生——我的建议很简单：照我们一直以来的方式做。尽可能多地学习你的头脑所能承受的、最困难、最抽象的数学。你的导师理应指导你走过这个过程。
接下来我往下讲一个层次。本科生的成绩如今呈现双峰分布。过去，成绩基本上是高斯分布；现在我们看到两个明显的群体：一类学生用 AI 检查自己是否理解了内容。他们会说：“等等，教授上课讲过这个。我当时听到的是什么来着？那是什么意思？”或者：“我快考试了。这是我过去三周的笔记，你来考考我，看看我是不是真的掌握了。”这些学生的成绩高得多。
另一类学生会说：“哦，这道题一小时后就要交。你能直接告诉我答案吗？我用自己的话抄下来。”于是，作业进度和考试成绩之间出现了脱钩，我们看到成绩呈现双峰分布。不知道你们那边是不是也看到了同样的情况。
所以暗含的建议就是，成为那种用 AI 学习和成长的人之一，成为——
成为分布前端的人，别落在尾端。
是，是。
我们能不能去上个洗手间？
可以，可以，当然可以。
我们不知怎么把智力放到了最高的位置，甚至几乎把智力等同于道德。
对，或者说等同于价值。
还有价值。我觉得这和事实完全相反，对吧？超强智能不意味着超高道德水准。我认为这是 AI 系统的一大隐忧：即使它们超级智能，也完全不意味着它们会有超级道德。嗯，我觉得——
对。我们已经推动孩子上大学好多年了——
一直如此。是啊。
而且每个人都得上大学，是吧？
不管他们学什么，也不管最终结果如何。嗯，超级智能似乎会带来极强的合理化能力；而农民以及世界上其他普通人，他们有常识，能感觉到这种合理化往往是一派胡言。你把话说得再漂亮，我又无力反驳，也不代表你就是对的。
是啊，教育和智慧是两回事。
对，没错。
我知道这问题不容易回答，但 Steve，你能不能给研究生、大学生，也许还有年纪更小的孩子一些建议，告诉他们在这个变化飞快、令人摸不着头绪的时代该怎么办？
一定要保持好奇，多阅读，学习所有基础知识。我觉得这一直都是好建议。即使电脑做线性代数比你强得多，你也肯定仍然应该学线性代数，建立直觉。微积分也一样，物理也一样。我认为，理解历史，并把这场变化放在历史上人类经历过的其他重大变革中去理解，这很重要。但最重要的还是保持好奇。
我还想说，我们内心的这份好奇正不断被注意力经济试图夺走。所以，驱使你保持好奇的引擎，也是让你不停刷负面消息的那个引擎。比如，哦，那是……所以我觉得——
专注、无聊与好奇心
你得学会避开各种干扰，专注下来，让好奇心真正去探索一件事、把它吸收进去，学会一些东西。AI 在这方面确实很擅长，因为它的激励机制是从互动中给你带来价值，而不是让你黏在某个东西上、对它上瘾。我不知道高中生、大学生怎么能在手机就在身边、那个分心盒子就在眼前的情况下活下来。所以，要避开干扰，深入专注。
我们小时候有时都会觉得无聊。我觉得无聊非常重要。
太重要了。
真的要感到无聊，要……好奇心和专注常常就是从无聊中来的。
我希望自己能更常感到无聊。有时候我也试着这么做。
是啊，我们放学回家，可能五秒钟就做完作业什么的，然后就跑到外面去。你希望能碰上其他也跑出来的孩子，然后大家一起找点事情做，直到吃晚饭才回家——
是啊，你不会意识到，高中时期，甚至更早的时候——本科阶段有些事情也算，但后来会越来越难——高中真是学习一切的好时光。至少我记得是这样；我不知道现在是什么样，不过我想现在可能更有意思了。
你会想：“好吧，等我长大了，就能真正做些对这个世界有用的事。是啊，我在学习，这很好。”但你会发现，从充实人生的角度看，从为精彩人生打下基础、让你将来还会记得这些事情的角度看，现在正是学习的时候。整个世界都在逼着你去学，也会因为你坐下来学习而奖励你。
因为等你再往后走，哪怕到了研究生阶段，这种探索性的事情也会让人泄气。要是你有了工作，那就更不用说了，你肯定会被劝阻去学习、探索之类的。所以探索的时光就在高中。
顺便说一句，没拿到终身教职的教师也会这样想：“等我拿到终身教职，就能坐下来放松，思考一些宏大的问题了。”可我得先做出足够多的成果，才能拿到终身教职。我们不希望年轻人做的，当然不是拼命挣扎着往上爬。
Ankur，你会给学生什么建议？
最后发言的问题是，我觉得我的很多建议都已经被别人说过了，所以“保持好奇”肯定算其中之一。现在我想说，出于内在动机去做事也很重要。我注意到，我们这个职业里、走学术道路的人当中，有很多人做事的理由来自外部评价，因为他们通过别人怎么看自己来衡量自己的价值。
这足以让你起步。也许你开始非常努力地做数学，是为了让别人对你刮目相看，对吧？但总有一天，这些可以去追逐的里程碑会用完。那时你就真的得有一个内在理由，去做你正在做的事。希望你能知道什么对自己重要，自己的价值观是什么。
所以如今，你可以听听我们关于保持好奇的建议，但旧的行动指南真的正在被抛到一边。你可以听我们的高层次建议，但你得自己摸索，也得能坦然面对不确定性。我所知道的、应对这类不确定性的唯一办法，是清楚自己认为什么重要、喜欢工作中的什么，并确保自己在做这些事。
在不确定中寻找自己的方向
因为如果你只是照着旧的行动指南走，最后就会把所有这些 AI 生成的证明都拿去花时间上传 arXiv、投给期刊。我不认为有人当初从事数学的内在动机是给自己的简历添砖加瓦。我不知道未来什么才重要，但如果你真有某种更高的目标，并且相信它，那么面对变化中的世界、找到自己的行动蓝图、坦然接受周围世界的变化，你都会处于更好的位置。
这是个更棘手的问题。很多听众对未来感到焦虑和害怕，既担心工作，也担心未来是否有意义。回想你自己的人生，在你也曾感到不确定、焦虑的时候，你有什么经历？处于低谷时，你能给那样的人什么建议？
是啊，我试着回答这个问题。这确实非常难。我讲个小故事吧。我们休学术假时住在湾区，住在帕洛阿尔托，那可以说是大学压力的中心。你能感受到那种气氛，去咖啡馆也能感受到，仿佛那种压力弥漫在空气里。大家都在问：“你现在参加什么课外活动，能帮到你？”
后来我回到 MIT，他们请我去做新生入学典礼演讲。准备那场演讲时，我一直在想：面对坐满新生和他们家人的整个礼堂，该说些什么？这些人如果把人生当成一场游戏，只求让一个十七岁的孩子在纸面上显得尽可能优秀，那他们已经赢了。
我一直在想，自己刚开始上大学、处于同样境地时是什么感觉。我当时对学习这么多不同的东西感到无比兴奋。我会坐下来规划四年学业，还会用小本子安排要上的课；如果按合适的顺序选课，我大二就能上光子学。我当时根本不知道光子学是什么，但听起来又好玩又高深。
我觉得我们社会的很多方面如今都围绕着“赢”和“让自己在纸面上显得优秀”来运转，我总会想，这一切到底为了什么？你一进高中就能开始优化 AP 课程和课外活动，好进入精英学校。进了精英学校后，你可能又会翘课，因为更重要的也许是准备面试，好去一家前沿实验室工作，然后拿到不错的限制性股票单位，就这样过完一生。这很好，你赢了，每个阶段都赢了。可那又怎样？
对我来说，过上丰富而充实的人生，最好的办法就是假装自己已经赢了，然后想想在那种情况下你会做什么。我记得刚到 MIT 任教时听到的建议。Sanjeev Arora 对我说：“想拿到终身教职，最容易的办法就是假装你已经拿到了，然后去做你一直想做的事。”
没错。
我不知道这条建议是否也适用于研究生和高中生，但我的建议还是一样：假装自己已经拿到了终身教职。现在你会做什么？我们要给建议的很多人确实有各种各样的机会。找到自己真正相信的事情，是我所知道的获得充实感的唯一途径。
我听一位我很敬重的人给过这样的职业建议：一份令人充实的职业，是你能研究一个重要、让你感兴趣、而且你擅长的问题。如果这三项能满足两项，你就已经很幸运了；如果三项全有，那你这辈子都会很幸福。所以，做好准备也很重要——
接受不确定，也珍惜人与人的连接
想清楚自己擅长什么、对什么感兴趣、什么重要，然后做好准备。你不一定能得到这三者，但机会来临时，你要准备好；之后继续做自己真正喜欢做的事。我觉得这是很好的建议。
我觉得我们也应该把这一点放在适当的背景里，坦率地说：我确实认为你们给的很多建议都适用，但我现在坐在三位世界级的人类头脑面前——他们已经找到自己的道路了。这有幸存者偏差。所以，很多听众可能觉得自己肯定找不到方向。他们害怕、焦虑、感到不确定，也在人生中跌跌撞撞。我认为，许多最有意思的人在生活中确实会摔很多跤，不管是外部环境还是内在因素，也不管命运带来什么。我知道有很多人此刻都在感受、关注这些，因为 AI 正在给社会带来种种变化。很多人非常害怕，也非常焦虑。
Ankur 说的话很有智慧。你可以被恐惧吓得动弹不得，也可以设想：“我已经赢了。在这种情况下，赢了的人会怎么做？”这样能减轻恐惧，也能在不确定中为你找到最优路径——在高度不确定、充满不确定性的情况下。不要照搬旧的行动指南，试着成为那个找出新指南、下一套行动指南的人。
我和 Max Tegmark 谈过很多次，他是个很特别的人。他的职业生涯里做过许多古怪又美好的事，同时也做过主流的事情。他说，两方面都得做一点：你仍然要在体制内做足够多的事，成为社群的一部分，参与科学和各种事物的发展；同时，也要做足够多离经叛道、狂野又古怪的事，开辟自己的道路，并在两者之间找到平衡。不要害怕显得有点古怪，但也要非常善于融入社群，成为一个尊重他人的社群成员。这两方面都重要。正如 Tom Waits 说的：“我喜欢我的 Tom 带一点毒。”只要有一点古怪，有时候甚至古怪得很多，就能造就一些美好的人。
我觉得，未来社群这一部分会变得更加重要。过去大概三十年，我们一直在试验机器能替我们做多少事。现在机器能做很多事了，我希望我们会意识到，实际上我们更喜欢和人一起做事。我们更愿意飞过去，面对面交谈；更愿意口头讨论，而不是只读一篇论文。
我觉得，我们日常体验能从中获得的满足感是有上限的。我的科研工作和学术生涯确实让我很满足，但回家陪孩子、如果费马大定理得到证明就和他们去海边、只是一起扔球玩，那种感觉无可替代。那才是我生命的意义。其他这些只是锦上添花；生活的根基是家人，是和我在乎的人待在一起。
随着 AI 越来越多地让智能变成一种大众化的商品，我们会越来越清楚地认识到这一点：智能以及我们解决的各种难题，只是锦上添花，或者说只是旁边的一颗樱桃。
访谈结束
真正重要的是我们生命中的其他人。
我真的无法表达，你们愿意亲自过来和我交谈，对我来说是多么荣幸。我已经成了你们三位的忠实粉丝。这感觉有点不真实，你们今天愿意和我聊天，让我深感荣幸。这次交谈特别愉快。非常感谢你们，非常感谢 Ankur、Steve、Alex。太棒了。
谢谢邀请我们来。
我们也觉得很开心。
谢谢。是啊。
谢谢邀请我们来。
太棒了。