二加二为什么等于四？数学告诉我们现实的深层结构Hoover Institution

旁白: 2 + 2 = 4。无论在任何地方、任何时代，2 + 2 都等于 4。但为什么？数学告诉我们关于现实本性的什么东西？David Berlinski、Sergiu Klainerman 和 Stephen Meyer，今天做客《Uncommon Knowledge》。

Peter Robinson: 欢迎来到《Uncommon Knowledge》。我们今天在奥地利萨尔茨堡录制。我是 Peter Robinson。

David Berlinski 曾在斯坦福、罗格斯、纽约市立大学以及秘鲁大学等高校教授数学、哲学和英语。他的著作包括《One, Two, Three: Absolutely Elementary Mathematics》，以及即将出版的《The Perpetual Rose》。David，希望我刚才对那所秘鲁大学的发音还可以。

David Berlinski: 完美。

Peter Robinson: Sergiu Klainerman 出生于罗马尼亚，是普林斯顿大学数学教授。用他自己的话说，他目前的研究兴趣包括“黑洞的数学理论”，更准确地说，是刚性与稳定性，以及被困曲面和奇点的动态形成。我是在念这些词，但说实话我并不知道它们是什么意思。Sergiu，也许待会儿我要请你解释一点。

Stephen Meyer 是 Discovery Institute 科学与文化中心主任。他最早的职业身份是地球物理学家，后来回到学校，在剑桥大学获得科学史与科学哲学博士学位。他已经成为美国智能设计论方面的重要思想者之一，最近一本书是《Return of the God Hypothesis》。David、Sergiu、Steve，欢迎各位。

Peter Robinson: 在 Steve 的新书《Return of the God Hypothesis》中，他提出三个相对较新的科学发展，暗示科学需要重新回到某种关于“超越者”的观念：宇宙大爆炸、宇宙的精细调谐，以及 DNA 的发现。

读完 Steve 的书之后，一位非常有成就、也很知名的数学家把 Steve 拉到一边，对他说：“你只提到了三个指向超越心智的发展。还有第四个。” Sergiu，你当时是什么意思？

Sergiu Klainerman: 首先我应该说，Steve 谈的是“发展”，但数学是永恒的。我的意思是，数学已经存在了几千年，所以把它和那些近代科学发展直接并列，多少有点不公平。

但数学按其定义处理的是一种自身的现实。我主张，这种现实和物理现实一样客观。举一个例子，黑洞就是这样。黑洞按定义是看不见的。可即便如此，我们仍然可以断言它存在。为什么？因为广义相对论是一套一致的理论。

Peter Robinson: 黑洞已经让我吓得不轻了。我们肯定还会回到黑洞，但只要听到你研究什么刚性、稳定性，我脑子已经开始疼了。

用普通人的话说，也就是用我能懂的话说，2 + 2 = 4，这是真的。

Sergiu Klainerman: 对。

Peter Robinson: 它不是幻觉，不是我们心智过程的产物，也不是神经元里某些偶然过程的副产品。

Sergiu Klainerman: 对。

Peter Robinson: 无论我认为 2 + 2 等于 3 还是 5，我都错了。2 + 2 就等于 4，而且这是客观真实的。

Sergiu Klainerman: 对，是这样。

Peter Robinson: 因此，有一种概念性的客观现实存在于我们之外。

Sergiu Klainerman: 是的。

Peter Robinson: 它不是物质的。

Sergiu Klainerman: 它不是物质的。

Peter Robinson: 这其实是件大事。

### [03:34] 2 + 2 = 4：非物质而客观的现实

Peter Robinson: David 耸了耸肩。

David Berlinski: 当然，这是一件大事。2 + 2 = 4 是一个有意思的例子。不过，你可以从更基本的观念推导出它。你不必一上来就宣称“2 + 2 = 4，我站在这里，别无选择”。你可以说，我从更原初的概念项目中推导出了它。

但当你一层一层往回追问，追问到关于算术系统的最初假设、也就是那些公理时，除了整个系统的一致性，你再也无法提供额外的防御。这是一个非常有意思的位置。

Peter Robinson: 我来引用你书里的一段话，《One, Two, Three》。我希望这说的是同一点，因为如果是，那就说明我真的理解你了。

你写道：数字以及数字所使之成为可能的运算，不能被分析到消失在某种更根本的东西之中。数字本身就是根本性的。它们可以被更好地理解，可以被更好地描述，但不能被某种更好的东西替代。

David Berlinski: 我仍然认为这是真的。注意，当你说 2 + 2 = 4 时，那是一个断言。

Peter Robinson: 是。

David Berlinski: 我在那段话里要论证的是，当你回到算术的基础，并期待或希望摆脱数字本身时，你会非常失望，因为它们会重新出现。

Peter Robinson: 好，我再引用 David 一次，不过这次请你们两位也来判断。我假设 David 会同意他自己，虽然在 David 身上，这有时候也成问题。

还是来自《One, Two, Three》：在广泛的论证之中，论证可能被提出、评估、接受、推迟、延宕或击败，但只有在数学中，论证才具有迫使人信服的力量。没有任何哲学理论曾经说明为什么会这样。这是数学之谜的一部分。

换句话说，你可以从某个哲学立场出发，追溯到亚里士多德，论证看起来很顺，但我仍然可以说：“你知道吗，我不被说服。” 可是当你对我说 2 + 2 = 4，我只能说，当然，你说得对。是这个意思吗？

Stephen Meyer: 我可以从一个曾在自然科学中工作、后来研究科学哲学的人的角度谈谈。自然科学为结论提供的是经验性的或观察性的证据。科学家会通过比较解释力或预测力，来评估特定理论或假说。

但这类论证的逻辑形式，并不会给出一个演绎上确定的结论。最好的情况下，你会推断到某个假说，因为这个假说提供了最佳解释。

Peter Robinson: 等一下，先帮我们区分一下“演绎”和“推断”。

Stephen Meyer: 好。一个演绎论证从大前提出发，比如“所有人都会死”；再加上小前提，某个关于世界的事实。

Peter Robinson: 苏格拉底是人。

Stephen Meyer: 苏格拉底是人。然后得到结论：因此，苏格拉底会死。

Peter Robinson: 苏格拉底会死。对。

Stephen Meyer: 如果前提是真的，推理形式有效，那么结论就可以被确定地肯定。

但在自然科学中，你从观察到的世界事实出发，想从这些事实推断到某种一般化结论，这就是归纳论证；或者推断到某种能够解释你所看到现象的因果过程。这种推理通常被称为溯因推理，有点像我们看侦探剧时喜欢的那种侦探推理。

Peter Robinson: 科伦坡。

Stephen Meyer: 对，科伦坡，或者任何人在试图弄清“是谁干的”。当你考察这种溯因推理和归纳推理的逻辑形式时，你会发现它们并不给你确定性。它们可能给你可信度，可能给你比较性的可信度，比如一个理论明显比另一个理论好得多，但它们不给你数学和数理逻辑能给出的那种确定性。

Peter Robinson: 所以一位好的科学家不会说得比这更多：理论是 X、Y、Z，并且在目前最好的证据下它成立。而数学家则完全有信心说：我已经证明了，我们已经证明了。

Sergiu Klainerman: 它对所有时间都为真。

Peter Robinson: 我们有一个证明，对吗？

Sergiu Klainerman: 当我们在科学中说“证明”时，数学家在这方面比我们更严格。

Peter Robinson: 当你说你证明了某件事，你是真的这么说？

Sergiu Klainerman: 是的。当然它也可能错，但有人会把错误指出来。

Peter Robinson: 好。这就把我们带到了 Sergiu 的文章。David，你编辑的那本杂志《Inference》里，文章标题是《Reflections on an Essay by Wigner》。

Peter Robinson: Eugene Wigner 是二十世纪的数学家和物理学家。1960 年，他写了一篇著名文章：《数学在自然科学中不合理的有效性》。Wigner 惊讶地指出，数学毕竟是在我们心智中进行的东西，却竟然如此有用地描述、甚至预测物理世界的各个方面。

你能给我举几个例子吗？我会想：半夜做个梦，醒来发现梦不是真的；但如果我做了一个数学方程，醒来之后它仍然是真的。

Stephen Meyer: Sergiu 写了一篇非常精彩的文章。他展示的是，你可以从非常简单的数学出发，本质上通过演绎，逐步建立起越来越复杂的数学形式。然后那些复杂的数学形式，比如微积分、微分方程，竟然漂亮地映射到物理世界，描述自然中真实发生的过程，对自然现象给出非常精确的描述。

Wigner 所指向的，就是许多物理学家感到困惑的那个谜：为什么我们通过一系列演绎步骤、实际上从自身理性中发展出来的数学，会如此漂亮地映射到自然过程上，有时甚至映射到我们尚未观察到的过程上？David 在《One, Two, Three》里有很多好例子，说明一些数学结构在拥有任何物理应用之前很久就已经被发展出来，但后来却变得至关重要。也许他应该谈谈这一点。

David Berlinski: Eugene Wigner 提出了一个非常有意思的问题，人们一直在讨论它。如果你看理论物理那些伟大的结构，牛顿力学、广义相对论、量子力学，你离不开大量数学。你就是需要很多数学。

Wigner 提出的问题是：我们需要数学来做量子力学，但我们不需要昆虫学。为什么昆虫不出现在量子力学里，而数字和复数会出现？这是一个有价值、也很挑衅的问题。

但我们不必转向量子力学。这里有一个杯子，那里有一个杯子。一个杯子，一个杯子。你面前有几个杯子？两个。你从哪里得到这种确信：你面前有两个杯子？这不是一个物理观察，因为这个情形的物理事实中没有任何东西揭示“一加一等于二”。那是某个人额外想到的东西。

当然，我们可以把这一切分解成更小的步骤。二十世纪的逻辑学家已经做了这件事。他们向我们展示，证明的方法可以被分解成非常小的步骤，小到计算机也可以执行。最初的假设可以被做得极其一般，甚至一般到能够像集合论或范畴论那样涵盖全部数学。

但在这一切中，我们处在一个相当尴尬的位置。想象一下，我们正在看一个美丽的高山湖泊，突然看到对岸有个人开始在水面上行走，没有任何辅助。他一步接一步地走过湖面，全身干燥地来到电视摄像机前。我们问：“你是怎么做到的？”他说：“我走的是很小的步子，很小的步子。”

我们的自然反应会是：这值得称赞，而且你确实走过来了；但无论如何，这不是对问题的回答。我们都处在观看某人跨过大片水域的位置，而他对成功的解释是：“看我的脚，小步子。”这就是我们现在的处境。

Peter Robinson: Sergiu，我回到你的文章。我再次引用你：“Wigner 指出的谜，部分来自一个长期问题：数学究竟是一门像主要物理理论那样通过探索与发现推进的科学，还是人类心智的一种发明、一种创造？我主张，数学是通过探索与发现发展出来的。”也就是说，它像埋在地下的金块一样，你把它找出来。

Sergiu Klainerman: 对。绝对是这样。可以用一个登山者的图像来理解：他试图爬到山顶。他有一个想法，知道自己想去哪里。这一点非常重要，是做数学的一部分。数学不只是演绎。

Peter Robinson: 今天每个人都在用阿尔卑斯山的隐喻。

Sergiu Klainerman: 是。他有一种关于自己要去哪里的视觉，这非常重要。这和灵感有关。但之后，你面前又有某种非常客观的东西。阿尔卑斯山的岩石在那里，你必须考虑它，否则你就会摔下去。你必须触摸岩石，才知道自己到底往哪里走。如果你不这样做，就会遇到麻烦。数学非常类似。

人们觉得一切都是演绎，其实不是。在这个方面，它和物理科学很像。物理科学也有期待，也会提出假说。选择一个假说本身不是演绎，而是一种洞见。然后你试图证明它适合其他一切经验。

Stephen Meyer: 所以这是证明某个东西的过程，对吗？

Sergiu Klainerman: 对。

Stephen Meyer: 一方面有发现过程，另一方面有辩护过程。

Sergiu Klainerman: 正是辩护过程。归根到底，数学看起来像一连串逻辑序列。链条一旦有了，计算机可以很快地沿着它走，也许还能检查它。现在还没有计算机能够检查大型证明；它们可以检查小证明，但不能检查大证明。

几何是一个很好的例子，能说明数学和物理之间的关系。几何是第一个真正关于物理世界的理论，它描述的是我们所看见的东西。

Peter Robinson: 你说的是追溯到欧几里得吗？

Sergiu Klainerman: 对。欧几里得显然试图把这些东西变成数学陈述。但几何毫无疑问也是一个物理理论。然后它发展起来。这里出现了数学中特有的东西，和物理不同：数学家可以接过一个理论，然后按照与物理学家非常不同的标准继续发展它。他们对问题感兴趣，可能是因为问题很美，也可能是因为他们觉得它会带来对其他东西的理解。

在几何的例子中，这种自由延续了大约两千年，基本没有重新连接到物理世界。欧几里得几何一开始在那里，但到了十九世纪，有高斯、罗巴切夫斯基、黎曼；二十世纪初又有闵可夫斯基。突然之间，所有这些东西都变成了狭义相对论和广义相对论的必要成分。它们不只是技术工具，而是基本物理理论的必要成分。我认为这种事情发生过很多很多次，只是没有被充分承认。

Peter Robinson: Sergiu，我无法自己评价你的工作，因为你完成过一个两千页的证明，两千页紧密的数学推理。即使我活到两千岁，每天读一页，或者每年读一页，我确信它还是会逃过我的理解。

那项工作涉及爱因斯坦理论中某个方面的稳定性。我想问：你当时觉得自己是在做一件艺术品，创造某种美的东西，还是在拷问现实？我是在试图理解，作为一个工作的数学家，那是什么感觉。

Sergiu Klainerman: 这是个很好的问题，也是一个很深的问题。答案是二者都是。首先，我会选择这个问题，是因为我是数学家，不是物理学家。我相信最好的数学总是以复杂方式和物理相连。但物理中有很多问题，我会挑选那个满足我作为数学家的审美感的问题。

Peter Robinson: 你的审美感。解释一下，你想要某种好的东西？

Sergiu Klainerman: 某种我感到非常美、非常深刻的东西。它会提出很多非常有趣的问题。这是一个方面。但至少对我来说，它还必须有第二个方面：它应该说明物理世界中的某些东西。在这个例子里，它确实如此。这里说的是 Kerr 解。

事情大致是这样的：爱因斯坦在 1915 年提出了广义相对论。

Stephen Meyer: 当时这是一个新的引力理论：大质量物体会弯曲所谓的时空。

Sergiu Klainerman: 然后人们发现了一些特定解。Schwarzschild 是第一个，很快就找到了所谓 Schwarzschild 解。那是一个静态解，有很多对称性，你实际上可以从广义相对论、从爱因斯坦方程中把它作为精确公式提取出来。

这带来了很多问题，因为它有奇点。后来这和 Penrose 奇点定理联系起来，Penrose 也因此获得了诺贝尔物理学奖。他是唯一获得诺贝尔物理学奖的数学家。

之后出现了 Kerr 的第二个重大发展。那是 1963 年，Kerr 解被提出。现在你有一个 Kerr 家族，它包含 Schwarzschild，是一个更大的家族，取决于两个参数。这些都是方程的精确解。

从数学角度看，它们是真实的。对我来说，数学现实和客观事实有关：这些东西是某个方程的解，而那个方程你可以写下来，是概念上可把握的。

Peter Robinson: 请允许我插一句。如果我理解爱因斯坦最了不起的地方之一——当然，请纠正我，我现在是在用非常幼稚的话说，因为这已经是我面对这个材料的最高水平了——爱因斯坦在 1915 年提出广义相对论。现在是 2025 年，过去一个世纪中，随着新卫星、新技术、新实验的出现，人们做了许多实验，而每一次广义相对论都经受住了检验。

也就是说，爱因斯坦在黑板上想出来的这个理论，一个世纪以来不断和现实对应，并且预测现实。如果我们能用某种方式设计关于黑洞的实验，你的工作也会经受检验。它在这个意义上是真实的。

Sergiu Klainerman: 我喜欢把它称为一种现实测试。Kerr 解的稳定性是一个数学陈述，但有很强的物理内容。

假设它不稳定。它仍然是方程的一个正确解，从特定初始条件出发。但稳定性问题问的是：如果我们对初始条件做很小扰动，会不会突然得到完全不同的东西，和 Kerr 解毫无关系？如果是那样，就叫不稳定。

如果 Kerr 解不稳定，它就没有物理意义，因为它不对应于自然中任何你能识别的东西。所以稳定性是一个基本问题。

Peter Robinson: 它是现实的标记。

Sergiu Klainerman: 我称之为现实的数学测试。

Stephen Meyer: 这里从哲学角度看非常有意思。这里有一个深层假设：数学上一致、连贯、稳定的东西，会给我们提供通向物理现实的指南。仿佛物理中内置了一种理性，而这种理性又以某种方式匹配我们在做这种高级数学时运作的理性。

这就是 Wigner 的谜：为什么我们内部的理性，会匹配我们之外自然界的理性？

Peter Robinson: 好，现在我们进入了更深的水域。我已经在水深超过头顶的地方，但还继续游。

David Berlinski: 我可以提出一个简单的东西，也许有帮助。我们有广义相对论的场方程和解，但 Sergiu 一开始谈的是几何。只要想一想：数学对象具有稳定的性质。这也是为什么数学家把它们看作真实的。圆有某些基本性质，有周长、有面积，我们可以计算这些东西。那些性质对所有思考圆的人都为真。

这些几何对象具有稳定性质，我们可以用数学描述它们，而它们独立于我们的心智。正如 Sergiu 在我们最近一次会议上解释的，那种性质的稳定性，是现实的一种标志，是心灵独立的客观现实的一种标志。这就是为什么数学家通常不认为自己是在发明新的数学公式。他们几乎普遍感到，自己是在发现某种东西，而不是在发明。

Sergiu Klainerman: 有些人并不这么认为。但有意思的是，物理学家总是把数学称为人类心智的一种发明。Einstein 这么说，Wigner 也说了很相近的话。我总是很惊讶。

Stephen Meyer: Einstein 其实称它为“人类心智的自由创造”。

Peter Robinson: 他说“自由”，是什么意思？

David Berlinski: 这并不清楚。因为如果数学是人类心智的自由创造，为什么数学命题又如此可怕地具有必然性？我对 2 + 2 = 4 并没有太多选择，我想你也没有。

Sergiu Klainerman: 我倒觉得现代物理学家这样说是有原因的。我怀疑 Newton 不会这样说。现代物理学家是物质主义者，他们相信只有物质，连心智也必须以某种方式由物质决定。

David Berlinski: 但他们不可能是对的。

Stephen Meyer: 注意这里的辩证结构。真正做数学、发展数学的数学家，通常相信自己发现的是某种真实且独立于心智的东西，而不是像发明内燃机那样发明一个东西。

Sergiu Klainerman: 正是如此。任何发明都必须有一个起点。也就是说，在那个起点之前，那个数学事实不存在。比如毕达哥拉斯定理在毕达哥拉斯发现它之前不是真的——这种说法很荒唐。

Peter Robinson: 无论我有多少没抓住的复杂性，2 + 2 = 4 对我是真的，对你是真的，对 David 也是真的。无论 David 某一刻多么故意唱反调，它仍然是真的，而且一直以来都是真的。因此，有某种东西存在于我们之外。我们可以称它为理性，也可以称它为柏拉图式的东西。

那我们转向柏拉图。如果我理解到这里为止，在《理想国》中，柏拉图区分了可知世界和可感世界。可感世界是我们能够看见、触摸的东西；可知世界则通过理智进入。他把理想形式放在那里。外面有一个圆，有一个三角形。柏拉图说它们拥有独立存在，但他似乎暗示，有一个理想形式的领域在某个地方。

一千五百年之后，阿奎那出现了。他说，观念存在于心智中。某种对我们所有人、对所有时代都为真，可被理解但非物质的东西，存在于上帝的心智之中。David？

David Berlinski: 嗯，也许吧。

Peter Robinson: David 从未比刚才那一刻更像 David。

David Berlinski: 我没法理解到目前为止的讨论，这就是我的问题。

Wigner 指出的确有一个问题，一个真正的哲学问题。也就是说，如果数学对每一个物理理论都是必要的，那么除非是一个平凡的解释，否则不可能有一个物理理论能够以物理方式解释数学。如果有人想用一条鲤鱼作鱼饵来钓一条鲤鱼，他从事的是一种空洞的追求。他已经有那条鲤鱼了。

如果我们需要一个包含数学的物理理论来解释数学，那么我们已经不再只有一个物理理论了。我们有的是一个物理理论加一个数学理论。这就是困境。我认为这是 Wigner 所指出的深层困境。

我们有某些原则想要抓住，这是文化上的冲动。我们想抓住这个基本想法：世界是物理的。我们生活在一个物理世界中。我不是说这个想法值得赞扬，我只是说它是一种文化冲动，因为它让人安心。面对不可衡量之物时，我们说：基本事实是，这东西是一个物质对象或物理对象。

但在文化上和智识上都非常不方便的是：为了理解这个物理对象，我们需要大量关于数学的非物理事实。而要解释这些非物理的数学事实，我们又没有任何不含数学的物理理论可以承担这个解释任务。

所以我们处在这样的位置上：如果数学像 Sergiu 和 Steve 所说的那样有用，而他们在这一点上完全正确，数学在日常生活中也有用，那么我们关于世界是纯粹物理系统的想法就有某种根本错误。

Stephen Meyer: 正是如此。

David Berlinski: 有些东西不可能是对的。某些东西必须让步。要么我们发展出完全没有数学的物理理论，要么我们承认物质主义根本不可能是对的。二者必居其一，总要放弃些什么。

Sergiu Klainerman: 但物理学至少到目前为止，并没有放弃“物理性”的观念。这就是问题所在。

Peter Robinson: 我不明白你们这些聪明人。如果某件事已经在文献里存在了半个世纪，本质上像一个停止标志，说：等一等，你们必须对现实的性质做一个基本决定。那么学院派怎么能够无视它？

Sergiu Klainerman: 我不知道为什么。就像 David……但我不想谈存在、观念、柏拉图式观念的问题。也许那一步走得太远了。也许我们可以同意这一点。

但我有一个关于现实的操作性定义。现实是某个特定对象的不同表征之间的一致性。这在物理中是真的，在数学中也是真的。数学对象是真实的。一个数学家研究某个数学问题，用这种方式计算，用另一种方式计算，总是得到同一个结果。我们所做的事情中有某种如此显然客观的东西。因此声称这些只是人类心智的发明，在我看来是荒唐的。

David Berlinski: 在哲学中，有办法为任何立场辩护。我们可以说数学是人类心智的发明，因为人类心智是唯一真正存在的东西。毕竟，从 Berkeley 一路回溯，有一条很高贵的传统正是这样主张的：“存在就是被感知。”

但有某种东西阻碍我们回到 Berkeley 和唯心主义：说唯一存在的东西是一个心智，听起来有点荒谬。它和我们所谈论的那些壮丽物理理论并不相称。这不是一个论证，只是一个观察。

话虽如此，我们确实有被缩减到越来越窄的一块浮冰上的危险。Sergiu 刚才提到的浮冰，就是表征的一致性。可是“表征”是一个有点含糊的词。我们不如回到基础：那是我们理论的一致性。

什么是理论？我们可以给出一个回答：理论是一大组句子。句子是什么？它们是作出某些断言的东西，可以为真或为假，并且它们要相互一致。

在理论的可信性与可取性方面，这大概已经是我们所能达到的最好的地步。所以我们的浮冰现在是在说：我们有一个关于物理世界的表征或理论，它是一致的；但当我们考察它时，我们发现它不是一个物理对象。它调用了非物理的东西，比如数学对象。

我们不必决定它们存在于心智之中，还是存在于外在世界。它们存在，这就是我们需要的。数字二存在。我不必告诉你它存在于你的心智中，还是存在于我的心智中，这些都不相关。它存在，这才是决定性陈述。

只要它存在，而我们承认它不是物理的，那么我们就处在这样的位置上：我们最好的物理世界图景，为什么会包含不是物理的东西？为什么会这样？

Sergiu Klainerman: “存在”是一个本体论问题。我更喜欢谈“现实”，因为那是我能处理的东西。存在，我不知道。通常一谈到存在，我就觉得迷失了。我不知道什么存在、什么不存在。

Stephen Meyer: 让我着迷的是这些数学对象，无论是二次方程、圆，还是更高级的数学形式，都具有稳定性质。

Sergiu Klainerman: 这就是我说的一致性。

Stephen Meyer: 是，现实和客观性。Sergiu 的意思是，这些数学结构或数学对象具有一种现实性，而这种现实性独立于我是否亲自肯定那些性质。它们独立于心智，但本质上又是概念性的。它们不是物质的，而是概念的。这确实提出一个问题：它们位于哪里？

如果它们是概念，那么这就是我们引入柏拉图之后所走向的方向。柏拉图认为存在某种概念性的现实，处在某种天上的领域。但阿奎那对这一点的批评是，这和我们的经验不一致。观念存在于心智中。

数学结构具有这些客观性质，它们独立于我们的心智。如果这些数学结构本身又是概念性的，那么它暗示的不是它们漂浮在某个地方，而是它们根本上起源于或居于某种超越性的心智之中。这就是有神论对数学实在论的理解。

Peter Robinson: Steve 说，数学存在于上帝的心智中。Sergiu 说：“别拿这个烦我，我是个工作的数学家。我需要的只是粉笔和黑板。”

Sergiu Klainerman: 我说的是现实的操作性定义。那种认为凡是真实的东西都必须是物理的观念，对我来说没有意义，因为数学对象也是真实的。

David Berlinski: 我认为无论从哪里切入，结论都很相近。即便我们采纳 Berkeley 的立场，认为存在就是被感知，我们也会走到同一个位置：一个彻底一致、连贯的宇宙观，根本不可能只是物理的。

Stephen Meyer: 我想回到前面谈到的一件事。David 的书里有个例子，我记得他曾在美国做过一次相关演讲，我觉得特别有意思。应该是《One, Two, Three》里的内容，关于复数。你们记得吗？负一的平方根。数学里围绕复数发展出了一整套装置。

它看起来和任何东西都没有关系，可是后来一整套数学发展出来。我读研究生时还上过复变函数课。David 当时展示了，这个东西是在很早之前被发展出来的，也许早了一百四十年、也许两百年。然后突然之间，它对于量子力学变得绝对关键，而量子力学是我们最基本的物理理论之一。

Sergiu Klainerman: 复数的历史很迷人。负一平方根的观念大约在意大利出现。它和解方程的愿望有关。人们先想解二次方程，公式已经有了，阿拉伯数学家显然也已经知道。后来他们进入三次方程，发现有必要引入这个符号：负一的平方根。

这看起来没有意义，因为你不能对负一开平方。但他们就把它放在那里，然后作出了一个惊人的观察：你可以使用这个数，最后得到三次方程的解，而那些解全部是实数，和复数本身无关；但复数进入了公式。

这是一件非常惊人的事。后来人们慢慢习惯使用负一的平方根。到了十九世纪，它变得更加形式化，人们给了负一平方根一个几何定义，于是有了复数和复函数，并由此出现了大量应用。所以负一的平方根显然是真实的，它在被发现之前就已经存在。

Peter Robinson: 当他们引入负数的时候，我就不再听了。负数跟现实没有关系。不过那时候我就错了。

David Berlinski: Peter，不是负数，我们现在谈的是复数。负数是 -1、-2，你可以把它们想成债务。现在我们不是在谈债务，而是在谈复数。

真正特别有意思的是：十五世纪某个奇怪的意大利数学家发现，如果我引入一个符号 i，让它等于负一的平方根，我就能稳固一条推理链，并得到正确答案。这太惊人了。

不过，当数学家开始思考它时，完全可以把负一的平方根去掉，代之以两个实数和一组操作规则。突然之间，负一的平方根消失了。你留下的是你一开始就有的东西：实数，比如三和七，以某种顺序排列，并遵循某些规则。

Sergiu Klainerman: 一个乘法规则，这是关键。

David Berlinski: 对。复数正是这样。

Sergiu Klainerman: 它是新的乘法规则，在所谓实数、自然数的领域中原本不存在。

David Berlinski: 这引出了一个非常有意思的分析点：本体论可以被削减，代之以规则和规章系统。你可以减少数学的本体论负担。你可以说，我要用集合取代数字；我要用有序实数对取代复数；我要用收敛序列取代实数。你可以去掉很多东西。

但当你减少本体论负担时，你就增加了规则的负担。你实际上永远达不到“数学从无中出现”的那个点，永远到不了。

生物学家喜欢说，生命只能来自生命。十九世纪，这显然是真的。生命只能来自生命。它若不是来自生命，那会是一个彻底的谜。可同样真实的是：语言只来自语言。还同样真实的是：数学只来自数学。这些过程我们经验很多，但它们没有起源点。没有一个地方是数学起源的地方，没有一个地方是语言起源的地方，也没有一个地方是生命起源的地方。它们很可能是宇宙本身的基本特征。

Sergiu Klainerman: 但无论如何，数学有一段历史。

David Berlinski: 有的是我们发现它的历史，而不是那些现实本身的历史。

Sergiu Klainerman: 正是如此。

Peter Robinson: David，这是你和 Steve 在剑桥的一次谈话。我引用一段：“举起一根手指。这根手指能不能有不同颜色？可以。能不能稍微长一点？可以。能不能是弯的？可以。但它能不能不是一根手指，而是别的数量？不能。数字是强制性的。数字是这根手指本质上具有的东西。”

现在我们进入亚里士多德的领域：本质属性和非本质属性，或者说偶性。解释一下。

David Berlinski: 我更喜欢 Heidegger 的表述，原谅我把 Heidegger 引进来。他的作品里有一些非常有意思的段落。他说，当我们看对象时，我们无法把这个杯子的“一性”与对象本身分开。我们可以改变颜色，可以改变形状，它仍然是同一个对象。但我们不能说这一个对象本可以是两个。这说不通。

所以当我们谈物理对象时，我们现在谈的是物理上可实现的对象。数学方面对它们是本质性的。适用于数字的东西，也适用于形状。

我们不必像 Wigner 那样说：“看看量子力学，以及 Hilbert 空间需要引入复数这个惊人的事实。”不，只要看看这个杯子。这个杯子需要引入一个自然数。两个杯子需要引入两个自然数。这一点和在量子场论中调用复数一样神秘，一样神秘。我们并不知道为什么。

Peter Robinson: 好，所以你们三位都愿意同意，或者坚持认为：数学的存在，以及数学以奇怪方式对应现实、帮助我们真正调查现实这一点，表明现实并不只是我们五感能够接触到的东西。

David Berlinski: 这是一个提示。它不是证明，而是提示。

Peter Robinson: 哦，现在我连这块坚实地面都失去了。所以我们只有一个提示。

Peter Robinson: 我认为 Steve 愿意更进一步。当然我是在替 Steve 说话。Steve 愿意说：“我们在这里面对的是上帝的心智。”而 David 不会这么说。我就是把你按在那里，你也不会说。

Sergiu Klainerman: 我可以给一个类似的例子。Newton 之后马上出现的是牛顿力学。人们的想法是，牛顿力学必须解释一切。然后 Maxwell 出现了，Maxwell 方程出现了。为了让 Maxwell 方程和牛顿力学协调起来，人们需要以太这个概念。

Einstein 的伟大洞见是：我们其实不需要它。我相信这里也一样，我们不需要这种物质主义的世界表征。把它忘掉就好。现实意味着比那更宽广的东西。

David Berlinski: 它和数学本身最明显的呈现是不一致的。数学性质显然不是物质的。你可以发明一个形而上学系统把这点解释掉，所以它不是证明。

Sergiu Klainerman: 没有人证明以太不存在。我们只是把它丢掉了。我认为这也是我们应该对物质主义做的事。

David Berlinski: 回到 Peter 刚才的问题，我认为更简单的说法是：谜题就是数学的存在本身。就是这个。因为它是根本性的。

我们当然可以说，哲学家也确实说过，我们可以在形而上学上摆脱物理世界，这不成问题。Berkeley 展示了一种方式：一切都是感知或观念，外部世界消失了。但我们无法摆脱数学世界。数学世界不可消除，它的存在是一个深刻的谜。它在那里做什么？为什么我们以数学方式看见事物？

我不是因为自己有一个隐藏答案要说才提出这个问题。我觉得这是一个巨大的谜。数学单纯的存在本身，就深深令人困惑。

Peter Robinson: Sergiu，你同意这些话的每一个字。

Sergiu Klainerman: 是的，完全同意。

Peter Robinson: Steve，你也同意，但你能走得更远吗？

Stephen Meyer: 我只是对一个论证非常着迷，也就是我前面重新梳理过的论证：数学对象具有稳定性质，因此它们具有独立于我们心智的客观性。但它们又是概念性的。根据我们的经验，这暗示它们不是在柏拉图的天堂里漂浮，而是更有理由认为，它们最终来自上帝的心智。这就是数学神秘地适用于物理世界的深层原因。

David Berlinski: Steve，要记住，你到达的位置非常接近 Berkeley。

Peter Robinson: Berkeley，十八世纪英国教士和哲学家。他可能最著名地出现在 Boswell 的《约翰逊传》中。Boswell 提到 Berkeley 时，Johnson 踢了一块石头，说：“我这样反驳 Berkeley。”

David Berlinski: Berkeley 面对的是一个明显问题：如果你没有看月亮，月亮还继续存在吗？Einstein 也讨论过这个问题。Berkeley 的回答是：是的，它作为上帝心智中的一个思想而存在。这和 Steve 刚才论证的东西非常接近，虽然 Steve 当然不是 Berkeley。

Stephen Meyer: 我不是 Berkeley。我不认为物理世界只存在于我们心智中。我认为它独立于我们的心智，也独立于创造它的上帝的心智。但我确实认为，数学现实的最终来源很可能是上帝的心智。

David Berlinski: 有意思的是，你准备走得比许多当代分析哲学家更远，走向某种 Berkeley 式分析。而我认为在数学这里，这可能是唯一说得通的分析。

Stephen Meyer: 至少对数学来说。

David Berlinski: 是。

Peter Robinson: 各位，我要试着问最后一个问题，并引入一个新概念：美。我不知道这会走向哪里。这里有一段来自即将上映的纪录片《The Story of Everything》的片段。

纪录片旁白: 科学中有一种东西叫“美的原则”：真实理论常常呈现出数学之美或结构和谐。看到他们的 DNA 分子模型时，Francis Crick 据说说过：“它太美了，一定是对的。”

Peter Robinson: 解释一下。为什么美会进入这里？

Stephen Meyer: 我们并不真正知道。但它往往被称为科学中的启发式指南，也就是发现的指南。在影片后面的部分，有几位物理学家说得更尖锐：他们对数学之美的感知，常常成为发现的指南。

我想最早这么说的人之一是 Paul Dirac。他说，对理论来说，美比和数据相一致更重要。因为我们可能误解数据。但这里有一个假设：现实本身具有某种数学上的美。可理解性就在其中。

Peter Robinson: Sergiu，你刚才说选择研究项目时，会问它是否优雅、是否美。你用的词是审美。

Sergiu Klainerman: 当然。Kerr 解是一个不可思议的对象，真的很美。

Peter Robinson: 我们又进入另一个谜了吗？一个审美之谜？

Sergiu Klainerman: 美当然在我们选择问题的方式中起着基础作用，也在我们引导自己走向真理、走向问题解答的过程中起着基础作用。我们会拒绝那些刻意拼凑的、不美的论证。我们不会称它们为美。是的，这神秘地是真的。物理中当然充满了这样的例子。

以 Maxwell 为例。Maxwell 方程的发现过程，首先是 Faraday，他通过实验发现了电磁现象的几条定律。但他完全不是数学家，所以他把那些定律放在那里，只是陈述出来。Maxwell 意识到，如果把这些陈述放进数学之中，就存在某种对称性的缺失。这引导他走向了第四个方程，最后导向电磁学。

Peter Robinson: 以及现代世界的全部技术。

Sergiu Klainerman: 美。

Peter Robinson: David，你怎么看美？

David Berlinski: 我通常把那个词留给我的裁缝。

Sergiu Klainerman: 我可以告诉你，作为一个工作的数学家，美在数学家做的一切中都绝对扮演基础角色。很少有数学家会说：“我研究这个，因为它就是丑。”他们选择问题、选择方向，都是基于审美。

David Berlinski: 那只是官方说法，Sergiu。我们隐藏着各种数学上的邋遢东西。没人会告诉我湍流是一个美的主题。

Sergiu Klainerman: 哦，它是一个极好的主题。

David Berlinski: 极好，但不美。笨拙、迟钝。

Sergiu Klainerman: 但期待是，通过某个发现，我们会在湍流中找到美。

David Berlinski: 期待很便宜，美则价格高得像饥荒时期的粮食。

Peter Robinson: 好吧，你们踢他一下，他现在是在故意调皮。

Peter Robinson: 最后一个问题。Isaac Newton，那位给了我们数学、天文学、流体动力学的人。

Stephen Meyer: 以及微积分。

Peter Robinson: Newton 解释了很多东西。这里有一段 Newton 的话：“一位天上的主宰，作为宇宙的君王，统治整个世界。”

对神圣者，或者说对一个超越我们自身心智的心智的承认，在几千年里都被认为理所当然。直到 Newton 那么晚近的时代也是如此。然后它被踢出了知识生活，也被踢出了学院。

数学之谜是否暗示，物质主义错误是一场偏离，而且它应当、也可能正在结束？Steve，你愿意走这么远吗？

Stephen Meyer: 当然。我认为这正是对的。Newton 非常漂亮地说明了我们一直在谈的可理解性原则：数学家不一定观察自然，却能发展出数学理性；而这种数学理性随后又适用于理解内置于自然中的理性。

这对科学革命时期非常关键。当时，人们发展出系统研究自然、拷问自然的方法，并最终在一些人物身上达到顶峰。也许没有人比 Newton 更能代表这一点。他的洞见如此深刻，在一代人之内，甚至可以说在一年之内，就极大推进了当时所谓自然哲学或科学。他著名的“奇迹年”是在瘟疫期间，他回到家中，弥补自己在数学上的不足，然后回来时已经发明了微积分。

Peter Robinson: “一位天上的主宰”，David。

David Berlinski: 我能说什么呢？那种洞见还没有降临到我身上。

Peter Robinson: 公平。Sergiu？

Sergiu Klainerman: 首先，我认为把物质主义作为世界的唯一解释，应该扔进历史的垃圾桶。关于这一点，我们都同意。

Stephen Meyer: 是。

Sergiu Klainerman: 把上帝带进来，当然，为什么不呢？这是看世界的另一种方式。如果还有别的东西，那我们就去找出来。也许还有另一种解释。但在这个时点，我看不出有什么理由不去考察这种可能性。

Peter Robinson: 所以上帝存在。

Sergiu Klainerman: 为什么不呢？

Peter Robinson: Sergiu Klainerman、David Berlinski、Stephen Meyer，先生们，谢谢。

Stephen Meyer: 这是我们的荣幸，Peter。

Peter Robinson: 这里是《Uncommon Knowledge》，来自 Hoover Institution 和 Fox Nation。我是 Peter Robinson。